Задачи на круговое движение. Из одной точки круговой трассы
Шинкарев Егор Александрович
Сборник задач
Нестандартные задачи на движение
Научный руководитель проекта Кудрявцева Наталья Николаевна
В сборнике приведены подробные решения задач, условно отнесенных к следующим группам: на круговое движение, на движение протяжённых тел и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 8-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения задач на движение как на уроке, так и внеклассных занятиях.
Абакан 2017
Введение____________________________________________________3
Глава 1. Задачи на движение по кругу
§ 1.1. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной точки____________________________________________________4
§ 1.2. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек_____________________________6
§ 1.3. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки.………….7
§ 1.4. Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки.………………..8
Глава 2. Задачи на движение протяжённых тел
§ 2.1. Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону
§ 2.2. Задачи на движение двух протяженных тел навстречу
§ 2.3. Задачи на движение одного протяжённого тела относительно другого неподвижного
§ 2.4. Задачи на движение протяжённого тела относительно неподвижной точки
§ 2.5. Задачи на движение протяжённого тела и точки навстречу
§ 2.6 задачи на движение протяжённого тела и точки в одну сторону______
Введение
В практике встречается очень много интересных задач на движение. Занимательные задачи предлагают на различных олимпиадах и на выпускных экзаменах. В данном сборнике собраны только задачи, условно отнесенные к следующим группам: задачи на движение по кругу, задачи на движение протяжённых тел.
В каждой группе выделены подгруппы, отличающиеся друг от друга способами решения.
В данном сборнике задач представлены подборки задач каждого типа с ответами. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 8-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения задач на движение, как на уроке, так и внеклассных занятиях.
Глава 1
Задачи на движение по кругу§1.1 Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной точки
Задача: Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Скорость
Время
Расстояние
1-ыйавтомобиль
80 км/ч
80*= км
2-ойавтомобиль
X км/ч
x ⋅ км
Зная, что за 2/3 часа первый автомобиль прошел на круг, то есть на 14 км больше, чем второй, составим уравнение.
X ⋅ +14;
2х=160 −14 ⋅ 3;
x=59 .
Ответ: 59 км/ч
1. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.(13)( )
2. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч. (108) ( )
3. Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в км/ч.
(150)( )
4. Двум гонщикам предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
(96 )( )
5.
Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка?(1/80 и 1/90 части окружности)(
)
§1.2. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек
Задача: Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Решение:
Скорость
Время
Расстояние
1-ый мотоциклист
Х км/ч
t ч
xt км
2-й мотоциклист
Х + 21 км/ч
t ч
(х+21)t км
Пусть мотоциклисты находятся в пути одно и то же время, равное t
часов. Для того чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы, то есть 14:2=7 км. Поэтому путь, пройденный вторым мотоциклистом, на 7 км больше, чем путь, пройденный первым:
(х+21)t−хt=7;
21t=7
t=ч
Таким образом, мотоциклисты поравняются через t= часа или через 20 минут.
Приведём другое решение
Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.
Ответ: 20 мин
Задачи для самостоятельного решения:
6. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?(33)(https://www.metod-kopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
7. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого? (30) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
8 . Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? (20)
9 . Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 27 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 27 км/ч больше скорости другого? (30)
10. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 9 км/ч больше скорости другого? (20)
§1.3. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки
Задача: Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Скорость
Время
Расстояние
1 встреча
Велосипедист
Х км/ч
40мин= ч
Мотоциклист
4Х км/ч
10 мин= ч
2 встреча
Велосипедист
Х км/ч
Мотоциклист
4Х км/ч
К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x км/ч, а скорость их сближения - 3x км/час.
C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.
Итак, 3х=60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.
Ответ: 80км/ч.
Задачи для самостоятельного решения:
11 . Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч. (6) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm
12. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. (60) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
13. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 18 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч. (60)
14. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 12 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.(95)
15. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч. (75)
§1.4. Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки
З ад ача 1: На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.
Решение:
Время
Расстояние
1-ая точка
Х км/ч
t ч
xt км
2-ая точка
y км/ч
t ч
Ytкм
Пусть х – скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а у– скорость второй. Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние xt, а вторая пройдет yt расстояние.
После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:
Xt=16y
Yt=9x
Выразим время движения точек до встречи t
t = =
Откуда имеем
x =
По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть
16y-9x=10
Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:
16 y -12 y =10
И находим Y=2,5 откуда x= .
Полная длина круга равна: 70
Ответ: длина окружности 70 м.
Задачи для самостоятельного решения:
16. Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125сек. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 12,5 сек. Найдите скорости каждого тела. (22 и 18)
17. Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи. (700)
18. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?(1120 м; 40 м/мин, 30 м/мин)
19. В 2.4
20. В 2.4
Глава 2
Задачи на движение протяжённых тел
§2.1. Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону
Задача: По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй- длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?(http://www.ug.ru/method_article/519)
Решение:
Время
Расстояние
2 - 1
Х м/мин
11 мин
600+130+120+800= 1650 м
Расстояние, пройденное носом 2 сухогруза равно: первоначальное расстояние от носа 2 сухогруза до кормы 1(600) + длина 1(130) + длина 2(120) + конечное расстояние от носа 1 до кормы 2(800) = 1650 м
V= S: t
V = 1650: 11= 150 м/мин =9 км/ч
Ответ: 9 км/ч
Задачи для самостоятельного решения:
21. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам. Ответ дайте в метрах. (200)
22. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй - длиной 70 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 200 метров. Через 8 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 500 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (6.6)
( )
23. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая длиной 70 метров, вторая - длиной 30 метров. Сначала вторая баржа отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 250 метров. Через 14 минут после этого уже первая баржа отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 350 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй? (3)
( )
24. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая длиной 60 метров, вторая- длиной 40 метров. Сначала вторая баржа отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 200 метров. Через 18 минут после этого уже первая баржа отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 300 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй? (2.1)
( )
25 . По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй - длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (6)
( )
§3
Задачи на цифровую запись числа
Задача 1: Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12.
Решение:
Число должно быть кратно 11, то есть разность цифр, стоящих на чётных позициях и цифр, стоящих на нечётных позициях кратно 11, рассмотрим случай, когда их разность равна 0. Заметим, что 0 не должен встречаться, так как при умножении на 0 получим 0. Так как число наименьшее возьмём первую цифру 1. Число примет вид 1bcd. И так 1 + c = b + d и c×b×d=12. При этом если представить 12 в виде произведения 3-х чисел, то получим 12= 2×3×2, при этом 2+2 = 3+1 и получаем 1232
Ответ:1232
Задачи для самостоятельного решения:
26. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
27. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 60. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
28. Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
29. Найдите четырёхзначное число кратное 33, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
30. Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12
Задача 2: Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.
Решение:
Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.
Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами. Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.
Ответ: 111000
Задачи для самостоятельного решения:
31. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
32. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
33. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 3 и делится на 6.
34. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 7 и 3 и делится на 11.
35. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 3, 4, 9 и 5 и делится на 9.
36. Найти наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
37. Найдите шестизначное натуральное число, делящееся на 47, которое записывается только цифрами 2, 8, и 0.
Задача 3: Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа А+6 также делится на 12 найдите Наименьшее возможное число А.
Решение: Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Сумма цифр a + b + c должна делиться нацело на 12. Предположим, что так оно и есть, и попробуем подобрать такое число A + 6, чтобы сумма его цифр также делилась на 12. Заметим, что сумма цифр числа A + 6 должна отличаться от суммы цифр числа A на 12, 24, ... Иначе она не будет делиться на 12. Рассмотрим все возможные варианты:
Вариант 1. Если c <4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.
Вариант 2. Если c ≥ 4 и b <9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.
Вариант 3. Если c ≥ 4, b = 9, a <9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.
Вариант 4. Если c ≥ 4, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 6 будет равно: A + 6 = 100(c - 4) Сумма цифр этого числа равна: 1 + 0 + 0 + c - 4 = c - 3 Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 равна: 9 + 9 + c = c + 18 Получается, что 2 этих числа отличаются на 21 (18 - (-3)). Этот вариант не подойдет. Таким образом, цифры числа abc должны соответствовать c ≥ 4, b = 9, a < 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1
Ответ: 699
Задачи для самостоятельного решения:
38. Сумма цифр натурального трёхзначного числа А делится на 13. Сумма цифр числа А+5 также делится на 13. Найдите такое число А.
39. Сумма цифр натурального трёхзначного числа А делится на 12. Сумма цифр числа А+6 также делится на 12. Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее условию А › 700.
40. Найдите трёхзначное число А, обладающие всеми следующими свойствами:
сумма цифр числа А делится на 6
сумма цифр числа А+3 также делится на 6
число А больше 350 и меньше 400
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
§4
Задачи на вычёркивание и дописывание чисел
Задача 1: Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 27. В ответе укажите число.
Решение:
Начнем с чисел, которые начинаются с цифры 1, что бы порядок не был нарушен:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
Среди этих чисел 135 делится на 27 (13–8·5= –27)
Далее проверяем числа, которые начинаются с цифры 2:
234, 235, 236, 245, 246, 256
Проверяем числа, которые начинаются с 3:
345, 346, 356.
Ни одно число не делится на 27.
Переходим к числам которые начинаются на цифру 4.
456: не делится на 27.
Таким образом, получаем число 135
Ответ: 135
Задачи для самостоятельного решения:
41. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 35. В ответе укажите число.
42. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 5. В ответе укажите число.
43. Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
44. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
45. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Задача 2: К числу 26 допиши левее и правее по цифре, чтоб полученное число было кратным 45.
Решение:
Сумма цифр этого числа должна делиться на 9, само число должно делиться на 5., значит последняя цифра 0 или 5. а дальше подбираем первую цифру.
1260 и 5265.
Ответ: 1260 или 5262
Задачи для самостоятельного решения:
46. К числу 374 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.
47. Приписать к 1022 слева и справа по одной цифре так чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8, 9.
48. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
49. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре, чтобы получилось число, кратное 72.
50. К числу 2012 припишите справа две цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 36.
Ответы на задачи:
1. 1125
2. 1044
3. 1245
4. 3225
5. 4312
6. 6
7. 5
8. 3
9. 321 0
10. 3211
11. 11
12. 5
13. 1152
14. 1152
15. 2120
16. 20
17. 20
18. 10
19. 35
20. 10
21. 30
22. 24
23. 25
24. 24
25. 54
26. 1254
27. 2156
28. 3222
29. 2541
30. 1232
31. 222000
32. 111555
33. 333222
34. 377333
35. 333459
36. 1023457896
37. 282000
38. 899
39. 798
40. 369
41. 245
42. 12345
43. 54162
44. 115650
45. 181512
46. 43740
47. 910224
48. 1155
49. 4104
50. 420120
Список используемой литературы:
1) Школьные знания - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://znanija.com/task/, свободный. - Заглавие с экрана.
2) mail . ru - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://otvet.mail.ru/question/, свободный. - Заглавие с экрана.
3) ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Забелин, П. И. Захаров, С. Л. Крупецкий, В. Б. Некрасов, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Е. А. Семенко, А. В. Семёнов, В. А. Смирнов, Н. А. Сопрунова, А. В. Хачатурян, И. А. Хованская, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль; под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2015. – 686, с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)
4) Математичка - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://mathematichka.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.
5) Задачи математических олимпиад / И. Л. Бабинская. – М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975. – 109, с.
6) Открытый банк задач ЕГЭ по математике - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://base.mathege.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.
7) Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ - экзамены на олично - портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://worksbase.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.
Задачи на движение по круговой трассе. Задачи на движение по круговой трассе.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 1.
которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости
другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км,
Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после
скорость
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он
еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился
мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал
его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы
равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по
кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут.
первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут?
Ответ дайте в км/ч.
один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут
км/ч меньше скорости второго.
трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36
минут после встречи.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 2.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты
поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 10 км/ч
больше скорости другого?
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 минут
следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправ
ления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут
после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 50 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по
кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на
15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если
известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг
через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на
5км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 20
минут после встречи.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 3.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости
другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после
второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 21
минуту после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 94 круга по
кольцевой трассе протяжённостью 7,5 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 18 минут.
Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что
первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 50 минут?
Ответ дайте в км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 6 минут
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6
км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к
моменту их встречи проходит на 300 метров больше, чем второе, и
возвращается в точку А через 5 минут после встречи. Найдите длину
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 4.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 40 км. Через сколько минут мотоциклисты
поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 25 км/ч
больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут
следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36
минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч.
Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе
протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на
финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась
средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик
в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в
км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минут
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8
км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их
встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и
возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину
Решаем 238 Вариант Ларина ЕГЭ 2018. Подробный разбор заданий 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с сайта alexlarin.net. Алекс Ларин 238 тайминги: 7-12)5:34 13)15:15 14)18:05 15)26:51 twitter:https://twitter.com/mrMathlesson
группа ВК: https://vk.com/mr.mathlesson
сайт:
Примеры заданий: 1)Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его длина, ширина и глубина равны соответственно 25 м, 12 м и 2 м. Для облицовки дна и стен бассейна решено приобрести плитку по цене 500 р. за квадратный метр. Сколько рублей будет стоить покупка, если по периметру бассейна дополнительно планируется выложить прямоугольную дорожку шириной 1 м из той же плитки? 2)На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат - давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут прошло от запуска турбины до момента, когда давление в первый раз достигло наибольшего значения. 3)Найдите площадь треугольника ABC, если сторона клетки равна 4. 4)На прилавке лежат 8 одинаковых пар перчаток, но у одной пары есть незаметный снаружи брак внутри обеих перчаток. В ходе примерок все перчатки перемешались. Продавец разделил все перчатки случайным образом на 4 группы по 4 штуки. Какова вероятность того, что обе бракованные перчатки находятся в одной группе? 5)Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней. 6)Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. 7)На рисунке изображён график y=f"(x) - производной функции f(x) , определённой на интервале (-4;10) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=x или совпадает с ней. 8)Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах. 10)После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h=5t. До дождя время падения камушков составляло 1,4 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,2 с? 11)Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36 мин после встречи. 14)В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D. а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD . б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что Ссылка на первоисточник варианта:
#mrMathlesson #Ларин #ЕГЭ #профиль #математика
Продолжаем рассматривать задачи на движение. Есть группа задач, которая отличается от обычных задач на движение – это задачи на круговое движение (круговая трасса, движение стрелок часов). В этой статье мы с вами такие задачи и рассмотрим. Принципы решения те же самые, та же (формула закона прямолинейного движения). Но есть небольшие нюансы в подходах к решению.
Рассмотрим задачи:
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
На первый взгляд, кому-то задачи на круговое движение могут показаться сложными и какими-то запутанными в сравнении с обычными задачами на прямолинейное движение. Но это только на первый взгляд. Данная задача легко превращается в задачу на прямолинейное движение. Как?
Мысленно развернём круговую трассу в прямую. На ней стоят два мотоциклиста. Один из них отстаёт от другого на 11 км, так как сказано в условии, что длина трассы 22 километра.
Скорость отстающего на 20 километров в час больше (он догоняет того, кто впереди). Вот вам и задача на прямолинейное движение.
Итак, искомую величину (время, через которое они поравняются) примем за х часов. Скорость первого (находящегося впереди) обозначим у км/ч, тогда скорость второго (догоняющего) будет у + 20.
Занесем скорость и время в таблицу.
Заполняем графу «расстояние»:
Второй проезжает расстояние (до встречи) на 11 км больше, значит
11/20 часа это то же, что и 33/60 часа. То есть, до их встречи прошло 33 минуты. Как переводить часы в минуты, и наоборот, можете посмотреть в статье « » .
Как видим, сама скорость мотоциклистов в данном случае не имеет значения.
Ответ: 33
Решите самостоятельно:
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Данную задачу так же можно интерпретировать, то есть представить её, как задачу на прямолинейное движение. Как? Просто …
Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 112 км/ч. Через 25 минут он опережает второго на 25 км (т.к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в задачах на движение представить сам процесс этого движения.
Сравнение произведем по расстоянию, так как нам известно, что один опередил другого на 25 километров.
За x принимаем искомую величину – скорость второго. Время движения 25 минут (25/60 часа) для обоих.
Заполним графу «расстояние»:
Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 25 км. То есть:
Скорость второго автомобиля 52 (км/ч).
Ответ: 52
Решите самостоятельно:
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Данная задача представляет относительную сложность. Что сразу стоит отметить? Это то, что мотоциклист проходит с велосипедистом одинаковое расстояние, догоняя его первый раз. Затем он снова догоняет его второй раз, при чём разница пройденных расстояний после первой встречи составляет 30 километров (длина круга). Таким образом, можно будет составить два уравнения и решить их систему. Нам не даны скорости участников движения, поэтому можно будет ввести две переменные. Система из двух уравнений с двумя переменными решается.
Итак, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч.
Сорок минут это 2/3 часа, 8 минут это 8/60 часа, 36 минут это 36/60 часа.
Скорости участников обозначим за х км/ч (у велосипедиста) и у км/ч (у мотоциклиста).
В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 8 минут, то есть через 8/60 часа после старта.
До этого момента велосипедист был в пути уже 40+8=48 минут, то есть 48/60 часа.
Запишем эти данные в таблицу:
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть
Затем мотоциклист второй раз догнал велосипедиста. Произошло это через 36 минут, то есть через 36/60 часа после первого обгона.
Составим вторую таблицу, заполним графу «расстояние»:
Так как сказано, что через 36 минут мотоциклист снова догнал велосипедиста. Значит, он (мотоциклист) проехал расстояние равное 30 километрам (один круг) плюс расстояние, которое за это время проехал велосипедист. Это ключевой момент для составления второго уравнения.
Один круг - это длина трассы, она равна 30 км.
Получаем второе уравнение:
Решаем систему их двух уравнений:
Значит у = 6 ∙10 = 60.
То есть скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.
Ответ: 60
Решите самостоятельно:
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Следующий тип задач на круговое движение, можно сказать, «уникален». Есть задания, которые решаются устно. И есть такие, которые без понимания и внимательности при рассуждениях решить крайне сложно. Речь идёт о задачах про стрелки часов.
Вот пример простейшей задачи:
Часы со стрелками показывают 11 часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?
Ответ очевиден, через 40 минут, когда будет ровно двенадцать. Даже если сразу не смогли понять, то нарисовав циферблат (сделав эскиз) на листке, вы без труда определите ответ.
Примеры других задач (непростых):
Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой? Ответ: 325
Часы со стрелками показывают 2 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой? Ответ: 600
Решить самостоятельно:
Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Вы убедились, что запутаться очень легко?
Вообще, я не сторонник давать подобные советы, но здесь он нужен, так как на ЕГЭ с такой задачей можно легко запутаться, вычислить неверно или просто потерять много времени на решение.
Вы можете решить данную задачу за одну минуту. Как? Просто!
*Дальнейшая информация в статье закрыта и доступна только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.
На этом всё. Успехов Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Движение по окружности
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут
следом за ним отправился мотоциклист.Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.
Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/
Решение. Пусть х - скорость велосипедиста. Т.к. до первой встречи велосипедист ехал 30+10=40 мин, а мотоциклист 10 мин, то скорость мотоциклиста будет в четыре раза больше, т.е. 4х.
0,5х - это расстояние, которое проехал велосипедист после первой встречи до второй встречи за полчаса.30+0,5х - проехал мотоциклист после первой встречи до второй встречи. Это же расстояние равно 4х*0,5 км.Уравнение: 30 + 0,5x = 4x*0,5
30+0,5x=2x1,5x=30
x = 20 км/ч - скорость велосипедиста 4·20 = 80 км/ч - скорость мотоциклиста.
Ответ: 20 и 80.
Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?
Решение. Пусть скорость первого тела х м/мин, а второго у м/мин, и пусть длина окружности равна L.Тела начинают двигаться одновременно из одной точки.
За 112 мин первое тело пройдет дугу 112х, а второе 112у.
Причем, второе проходит окружность + дугу 112х. Уравнение 112у - 112х =L (1)
При движении в противоположных направлениях: 16у + 16х = L (2)
40 - 26 = 14 метров тела прошли навстречу друг другу за 12сек=1/5 мин: 12(х + у) = 14 (3)
Вычтем из (1) - (2). Получим 96у -128х = 0 -- 3у = 4х -- х= 3у/4.
Подставим в (3): 1/5 *(3у/4 +у) =14 у=40, х=30 - скорости тел.
Из (2) найдем L: 16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120 - длина окружности.
Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг.
Пусть длина окружности равна S метров (в этой задаче и спорте её называют круговой лыжней и кругом).Пусть первый лыжник проходит 1 круг за х минут, тогда второй - за х+2 минуты. Скорость первого лыжника S/x м/мин, а второго S/(x+2) м/мин.
За 1 час первый проходит 60*S/x метров, а второй 60*S/(x+2) метров. А т.к. первый проходит на 1 круг больше, т.е. на S метров, то получаем уравнение:
60·S/x - 60·S/(x+2) = S, разделим обе части на S.
60/x - 60(x+2) =1 -- x2 + 2x - 120 = 0 -- x=10 (х=–12 не удовл. усл.)
Первый проходит круг за 10 минут, а второй за 12. Ответ: 12.
Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?
Решение. Пусть длина окружности S.
Пусть первое тело проходит 1 круг за t минут, тогда за 1 минуту тело проходит путь S/t, аналогично второе - за минуту S/ (t+3) за 90 минут первое - 90*S/t, второе 90*S/(t+3).
составим уравнение:90S/t = 90S/(t+3) + S
90/t - 90/(t+3) = 1
t2 +3t - 270 = 0
t=15, t=-18 (не подходит)Ответ: 15.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?
Решение.Изначально расстояние между мотоциклистами равно 20:2 = 10 км.
Пусть второй догонит первого через t часов (первый раз). У первого скорость х км/ч, а у второго х+12 км/ч.
Разница пройденного пути 10 км. t(x+12) - tx = 10 tx +12t - tx = 10
12t = 10; t=10/12 часа = 10*60/12 минут = 50 минут.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Решение. Пусть второе тело проходит до встречи х км, тогда первое проходит х+100 км. После встречи первое за 9 минут пройдет х метров со скоростью v1=x/9, а второе за 16 минут пройдет х+100 метров со скоростью v2=(х+100)/16.
До встречи время первого (х+100)/v1 = 9(x+100)/x, время второго до встречи х/v2= 16x/(x+100).
Приравняем 9(х+100)/х = 16х/(х+100)
9(х+100)2 = 16х2
3х+300=4х х=300
Весь путь равен х+х+100=700 Ответ: 700.