Чтение и запись больших натуральных чисел. Десятичная система счисления, классы и разряды натуральных чисел
Так как десятичная система счисления поместная, то число зависит не только от записанных в нем цифр, но и от места записи каждой цифры.
Определение: Место записи цифры в числе называется разрядом числа.
Например, число состоит из трех цифр: 1, 0 и 3. Поместная, или разрядная, система записи позволяет из этих трех цифр составить трехразрядные числа: 103, 130, 301, 310 и двухразрядные числа: 013, 031. Приведенные числа расположены в порядке возрастания: каждое предыдущее число меньше последующего.
Следовательно, цифры, которые используются для записи числа, не определяют полностью это число, а служат только инструментом его записи.
Само число строится с учетом разрядов , в которых записана та или иная цифра, т. е. нужная цифр должна еще и занимать нужное место в записи числа.
Правило. Разряды натуральных чисел именуются справа налево от 1 к большему числу, каждый разряд имеет свой номер и место в записи числа.
Наиболее употребляемые числа имеют до 12 разрядов. Числа, имеющие более 12 разрядов, относятся к группе больших чисел.
Количество занятых цифрами мест при условии, что цифра наибольшего разряда не 0, определяет разрядность числа. О числе можно сказать, что оно: однозначное (одноразрядное), например 5; двузначное (двухразрядное), например 15; трехзначное (трехразрядное), например 551, и т. д.
Кроме порядкового номера каждый из разрядов имеет свое наименование: разряд единиц (1-й), разряд десятков (2-й), разряд сотен (3-й), разряд единиц тысяч (4-й), разряд десятков тысяч (5-й) и т. д. Каждые три разряда, начиная с первого, объединены в классы . Каждый класс тоже имеет свой порядковый номер и наименование.
Например, первые 3 разряда (от 1-го до 3-го включительно) - это класс единиц с порядковым номером 1; третий класс - это класс миллионов, он включает 7-й, 8-й и 9-й разряды .
Приведем структуру разрядного построения числа, или таблицу разрядов и классов.
Число 127 432 706 408 - двенадцатиразрядное и читается так: сто двадцать семь миллиардов четыреста тридцать два миллиона семьсот шесть тысяч четыреста восемь. Это многозначное число четвертого класса. Три разряда каждого класса читаются как трехзначные числа: сто двадцать семь, четыреста тридцать два, семьсот шесть, четыреста восемь. К каждому классу трехзначного числа добавляется наименование класса: «миллиардов», «миллионов», «тысяч».
У класса единиц наименование опускается (подразумевается «единиц»).
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Большие числа используются только в специфических отраслях Знаний (астрономии, физике, электронике и т. д.).
Приведем ознакомительно названия классов от пятого до девятого: единицы 5-го класса - триллионы, 6-го класса - квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса - секстиллионы, 9-го класса - септиллионы.
Цель: формирование у учащихся умения читать и записывать многозначные числа.
Задачи для учителя:
- создать условия для формирования у учащихся практических навыков определения разрядов и классов многозначных чисел;
- организовать учебную деятельность на уроке через сотрудничество с учащимися;
- продолжать развитие умений логически мыслить и излагать свои мысли, развивать познавательный интерес учащихся путем создания на уроке эмоциональных ситуаций, ситуаций радости, занимательности;
- содействовать в ходе урока воспитанию таких человеческих качеств, как доброта, отзывчивость, желание прийти на помощь.
Тип урока: урок “открытия” новых знаний.
Используемые методы, технологии обучения: технология деятельностного метода, ИКТ.
Используемые формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Оборудование и основные источники информации: ПК, проектор, презентация к уроку , раздаточный материал. Учебник: Г.В.Дорофеев, Т.Н. Миракова, Т.Б.Бука “Математика” 4 класс.
Прогнозируемые результаты:
Предметные:
- знают разряды и классы многозначных чисел;
- умеют читать и писать многозначные числа.
Метапредметные:
- умеют ставить учебные задачи и формулировать выводы.
- умеют слушать собеседника, излагать своё мнение.
Личностные:
- умеют сотрудничать с учителем и сверстниками
Ход урока
I. Психологический настрой на деятельность.
Заливистый школьный звонок
Позвал опять на урок.
Будьте все внимательны, а еще старательны.
Дети сели за парты. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь и пожелайте друг другу доброй работы.
Девиз нашего урока: “Не будь тороплив, а будь терпелив”.
Сегодня на уроке мы отправимся в удивительный мир чисел. (Слайд 1)
II.Актуализация знаний о разрядном составе трёхзначных чисел.
Вы уже много знаете о числах.
Какие знаки используют для записи чисел? (Цифры)
Какие вы знаете числа? (Однозначные, двузначные, трёхзначные)
Почему у них такие названия? (Для их записи используются 1, 2 или 3 цифры)
Что вы можете сказать о числе 1000? (Оно четырёхзначное, круглое)
Прочитайте числа и назовите в них разрядные слагаемые: 345, 67, 129, 921, 840. (Слайд 2).
Рассмотрите числа и назовите лишнее число: 145, 51, 512, 152, 521, 251, 5127. (Слайд 3). Докажите.
Запишите эти числа в порядке возрастания: (Слайд 3)
На что обратили внимание, глядя на остальные числа? (Для их написания использовали три цифры 1, 2, 5);
Что обозначает цифра 5 в каждом числе?;
Сделай вывод о значении цифр в записи числа в зависимости от места, которое оно занимает.
III. Постановка проблемы. Постановка целей и задач урока.
Сколько знаков использовали для записи этого числа?
Что необходимо сделать, чтобы число было удобно прочитать?
Как вы думаете, чему мы будем учиться? (Читать и записывать многозначные числа).
Итак, тема нашего урока “Разряды и классы чисел” (Слайд 5)
IV. Работа по теме урока.
1. Рассмотрите таблицу разрядов и классов. (Слайд 6)
2. Рассматривать её следует справа налево. Сначала посмотрите только на первый столбец первую строку.
Что вы замечаете? (Здесь известные нам трёхзначные числа)
Назовите разряды I класса:
1 разряд – единицы,
2-й разряд – десятки,
3-й разряд – сотни.
3. Прочитайте как назвали математики II класс? (Класс тысяч), а III класс?
(Класс миллионов).
Обратите внимание на название разрядов этих классов? (Их названия такие же, как в 1-м классе).
Да, но при чтении чисел необходимо называть название класса.
Прочтите числа, записанные в таблице.
V. Первичное закрепление
1. Мультимедийный диск по теме урока. (Прослушать)
3. Задания для закрепления по мультимедийному диску.
4. Задание № 6 учебника стр. 107 – комментирование
5. Самое большое четырёхзначное число? (9.999) А как записать?
6. Самое маленькое пятизначное число? (10.000)
7. Самое большое пятизначное число? (99.999)
8. Самое большое шестизначное число? (1.000.000). А вы знаете, почему же миллион – слово “великан”? Только представьте себе, что если каждый лист прочитывать за 6 минут и если ежедневно читать по 8 ч. непрерывно, кроме воскресений, то миллион листов можно прочитать лишь за 40 лет! Вот что такое миллион! Вот почему его называют великаном!
9. Работа устная по слайдам презентации (Слайды 7-11).
10. Первичное закрепление умения записывать числа с последующей проверкой.
Запиши числа: 6 тысяч, 140 тысяч, 5 миллионов. (Проверка по слайду 12)
Запиши цифрами: сто шестьдесят две тысячи девятьсот тридцать пять, один миллион триста восемьдесят тысяч триста один. (Проверка по слайду 13)
VI. Физкультминутка. (Слайд 14)
VII. Закрепление.
Игра 1 “Живая нумерация”
Трое учеников выходят к доске, каждый получает набор цифр.
Первый показывает количество единиц III класса,
второй – количество единиц II класса десятков,
третий – количество единиц I класса.
Ученики правильно называют многозначное число.
Игра 2 “Прочитай число”
Сейчас каждый загадает цифру (0-9) и с каждого ряда по 3 чел. Выйдут и запишут на доске и у нас получится многозначное число.
Прочитайте число.
Сколько единиц каждого класса в этом числе?
Сколько единиц каждого разряда в этом числе?
Работа в группе
Прежде, чем начать работу в группе, распределите между собой роли. Группа работает под девизом: “Ты ответственный за то, что делает твоя группа”.
(Каждой группе выдаются наборы цифр, из которых составляются наибольшее, наименьшее числа)
VIII. Повторение изученного.
1. Задача № 10 стр. 108.
Проверка решения:
1) 100 000: 50 = 2000(мешков) – всего на 2-х машинах.
2) 2000: 2 = 1000 (мешков) – на каждой машине.
Какого класса числа использованы в задаче?
2. Тест. (Слайд 15)
Обвести кружком номер правильного ответа:
1. Тринадцать тысяч пятьдесят шесть – это
2. Число 32 028 читается:
1) три тысячи двести двадцать восемь;
2) триста двадцать тысяч двадцать восемь;
3) тридцать две тысячи двадцать восемь.
3. Число 9 860 состоит из суммы разрядных слагаемых
2) 9000 + 800 + 60
4. Число, состоящее из 10 тысяч, 8 сотен и 3 единиц записывается:
5. Число, в котором 7 единиц первого класса и 3 единицы второго класса записывается:
6. Число, к которому надо прибавить 1, чтобы получить 100 000:
Проверка в парах, оценивание работ по критериям и оценивание себя.
IX. Рефлексия
Вспомни, всё о чём говорили на уроке и ответь на вопросы:
Какова была тема урока?
Чему я должен был научиться на уроке? (цель)
Что получилось?
Что не получилось и почему?
X. Домашнее задание (разноуровневое)
Домашнее задание на “5”. (карточки)
1. Запиши три различных шестизначных числа, используя только цифры 5, 0,7. Подчеркни наибольшее среди записанных чисел. Запиши его в виде суммы разрядных слагаемых.
2. Запиши трёхзначное число. Поменяй в нём цифры единиц и сотен. Запиши получившееся число.
Домашнее задание на “4”. (карточки)
1. Запиши число, в котором содержится:
а) 500 ед. 3 класса, 50 ед. 2 класса и 5 ед. 1 класса;
б) 6 ед. 2 класса и 172 ед. 1 класса.
2. Продолжи ряд чисел. Допиши ещё 5 чисел: 72100, 73200, 74300, ...
Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами . В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса:
Первый класс справа называют классом единиц , второй - тысяч , третий - миллионов , четвёртый - миллиардов , пятый - триллионов , шестой - квадриллионов , седьмой - квинтиллионов , восьмой - секстиллионов .
Для удобства чтения записи многозначного числа, между классами оставляется небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 148951784296, выделим в нём классы:
и прочитаем число единиц каждого класса слева направо:
148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296.
При чтении класса единиц в конце обычно не добавляют слово единиц.
Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место - позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом .
Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа - цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа 148 951 784 296, цифра 6 является цифрой первого разряда, 9 - цифра второго разряда, 2 - цифра третьего разряда:
Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами
:
единицы называют единицами 1-го разряда (или простыми единицами
)
десятки называют единицами 2-го разряда
сотни называют единицами 3-го разряда и т. д.
Все единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами . Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. - составные единицы. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда. Например, сотня содержит 10 десятков, десяток - 10 простых единиц.
Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда , а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда . Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.
Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.
Например, требуется узнать, сколько всего сотен содержится в числе 6284, т. е. сколько сотен заключается в тысячах и в сотнях данного числа вместе.
В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра - 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60. Всего, таким образом, в данном числе содержится 62 сотни.
Цифра 0 в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде. Например, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен - отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:
172 526 - сто семьдесят две тысячи пятьсот двадцать шесть.
102 026 - сто две тысячи двадцать шесть.
Чтобы запомнить, сколько собрали урожая или сколько звезд на небе люди придумали символы. В разных местностях эти символы были разными.
Но с развитием торговли, чтобы понимать обозначения другого народа, люди стали пользоваться наиболее удобными символами. Мы, например, пользуемся арабскими символами. А арабскими они называются потому, что европейцы их узнали от арабов. А вот арабы эти символы узнали от индийцев.
Символы, которые используются для записи чисел, называются цифрами .
Слово цифра пошло от арабского названия числа 0 (сифр). Это очень интересная цифра. Она называется незначащей и обозначает отсутствие чего либо.
На рисунке мы видим тарелку, на которой лежит 3 яблока, и пустую тарелку, на которой нет яблок. В случае с пустой тарелкой мы можем сказать, что на ней 0 яблок.
Остальные цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называются значащими .
Разрядные единицы
Система счисления , которой мы пользуемся, называется десятичной . Потому что именно десять единиц одного разряда составляет одну единицу следующего разряда.
Мы считаем единицами, десятками, сотнями, тысячами и так далее. Это и есть разрядные единицы нашей системы счисления.
10 единиц – 1 десяток (10)
10 десятков – 1 сотня (100)
10 сотен – 1 тысяча (1000)
10 раз по 1 тысяче – 1 десяток тысяч (10 000)
10 десятков тысяч – 100 тысяч (100 000) и так далее…
Разряд это место цифры в записи числа.
Например, в числе 12 два разряда: разряд единиц состоит из 2 единиц , разряд десятков состоит из одного десятка .
Мы говорили о том, что 0 – незначащая цифра, которая обозначает отсутствие чего либо. В числах цифра 0 обозначает отсутствие единиц в разряде.
В числе 190 цифра 0 указывает на отсутствие разряда единиц. В числе 208 цифра 0 указывает на отсутствие разряда десятков. Такие числа называются неполными .
А числа, в разрядах которых нет нулей, называются полными .
Разряды считают справа налево:
Понятнее будет, если изобразить разрядную сетку следующим образом:
- В числе 2375 :
5 единиц первого разряда, или 5 единиц
7 единиц второго разряда, или 7 десятков
3 единицы третьего разряда, или 3 сотни
2 единицы четвертого разряда, или 2 тысячи
Произносится это число так: две тысячи триста семьдесят пять
- В числе 1000462086432
2 единицы
3 десятка
8 десятков тысяч
0 сотен тысяч
2 единицы миллионов
6 десятков миллионов
4 сотни миллионов
0 единиц миллиардов
0 десятков миллиардов
0 сотен миллиардов
1 единица триллионов
Произносится это число так: один триллион четыреста шестьдесят два миллиона восемьдесят шесть тысяч четыреста тридцать два .
- В числе 83 :
3 единицы
8 десятков
Произносится так: восемьдесят три .
Разрядными , называют числа, состоящие из единиц только одного разряда:
Например, числа 1, 3, 40, 600, 8000 – разрядные, в таких числах нулей (незначащей цифры) может быть сколько угодно или не быть совсем, а значащая цифра только одна.
Остальные числа, например: 34, 108, 756 и так далее, неразрядные , их называют алгоритмическими .
Неразрядные числа можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.
Например, число 6734 можно представить так:
6000 + 700 + 30 + 4 = 6734