Основные понятия анализа опасностей. Определение надёжности. Отказ, вероятность отказа
Любой объект техносферы потенциально опасен. Всегда существует возможность происшествия: инцидента, аварии, катастрофы.
Инцидент – событие в результате которого возникает или может возникнуть несчастный случай.
Аварией обычно считается происшествие, в результате которого повреждена техника, без гибели людей.
Крупная авария , повлекшая за собой человеческие жертвы, значительный материальный ущерб, загрязнение среды, считается катастрофой.
Причины происшествия могут быть внутренними (отказы техники, ошибочные действия персонала) и внешними (транспортные аварии при перевозке опасных грузов, противоправные действия, природная среда и др.).
Опасность объекта техносферы – это его свойство, состоящее в возможности в процессе эксплуатации при определенных обстоятельствах причинять ущерб человеку, организации, окружающей природной среде .
Экономический ущерб , который может быть причинен объектом, называется потенциалом угрозы . Верхний предел потенциала угрозы обозначается как потенциал опасности технического объекта.
По потенциалу опасности промышленные объекты делятся на неопасные и опасные. Ущерб от потенциально опасных объектов наступает в случае аварий. В РФ опасные объекты подлежат регистрации в государственном реестре, обязаны заниматься декларированием безопасности и страхованием ответственности за ущерб третьим лицам.
Согласно федеральному закону «О промышленной безопасности опасных производственных объектов» от 21.07.97 № 116-ФЗ различают 5 групп объектов по виду опасности :
1) опасные вещества (воспламеняющиеся, окисляющиеся, горючие, взрывчатые, токсичные);
2) давление (более 0,07 МПа), температура нагрева воды (более115°);
3) высота (грузоподъемные машины, эскалаторы, фуникулеры, канатные дороги);
4) расплавы черных и цветных металлов;
5) подземные условия (горные работы).
По природе образующихся в результате аварии опасных факторов выделяют 6 групп потенциально-опасных объектов:
1) ядерно и радиационно опасные;
2) химически опасные;
3) пожаровзрывоопасные;
4) биологически опасные;
5) гидродинамически опасные;
6) объекты жизнеобеспечения.
Различают следующие виды опасных техногенных явлений: транспортные аварии, пожары, взрывы, химические аварии, радиационные аварии, гидродинамические аварии, разрушения зданий.
Оценка риска аварии
– процесс, используемый для определения вероятности (или частоты) и степени тяжести последствий реализации опасностей аварий для здоровья человека, имущества и (или) окружающей природной среды.
Оценка риска включает анализ вероятности (или частоты), анализ последствий и их сочетания.
Риск аварии – мера опасности, характеризующая возможность возникновения аварии на опасном производственном объекте и тяжесть ее последствий.
Основными количественными показателями риска аварии являются:
· технический риск – вероятность отказа технических устройств с последствиями определенного уровня (класса) за определенный период функционирования опасного производственного объекта (определяют методами теории надежности);
· индивидуальный риск – частота поражения отдельного человека в результате воздействия исследуемых факторов опасности аварий. Рекомендуется оценивать индивидуальный риск отдельно для персонала объекта и для населения прилегающей территории или, при необходимости, для более узких групп, например, для рабочих различных специальностей;
· потенциальный территориальный риск (или потенциальный риск) – частота реализации поражающих факторов аварии в рассматриваемой точке территории;
· коллективный риск – ожидаемое количество пораженных в результате возможных аварий за определенное время;
· социальный риск , или F/N-кривая (в зарубежных работах – кривая Фармера), – зависимость частоты возникновения событий (F), в которых пострадало на определенном уровне не менее N человек, от этого числа N. Характеризует тяжесть последствий (катастрофичность) реализации опасностей. Под N можно понимать и общее число пострадавших, и число смертельно травмированных или другой показатель тяжести последствий. Критерий приемлемого риска будет определяться не числом для отдельного события, а кривой, построенной для различных сценариев аварии с учетом их вероятности. В настоящее время общераспространенным подходом для определения приемлемости риска является использование двух кривых, когда, например, в логарифмических координатах определены F/N-кривые приемлемого и неприемлемого риска смертельного травмирования. Область между этими кривыми определяет промежуточную степень риска, вопрос о снижении которой следует решать, исходя из специфики производства и региональных условий;
· ущерб от аварии – потери (убытки) в производственной и непроизводственной сфере жизнедеятельности человека, вред окружающей природной среде, нанесенные в результате аварии на опасном производственном объекте и исчисляемые в денежном эквиваленте».
Объектом анализа опасностей является система «человек – машина – окружающая среда» (ЧМС).
Нештатное взаимодействие объектов, входящих в систему ЧМС, может выражаться в виде ЧП.
ЧП – нежелательное, незапланированное, непреднамеренное событие в системе ЧМС, нарушающее обычный ход вещей и происходящее в относительно короткий отрезок времени.
Н.с. – ЧП, заключающееся в повреждении организма человека.
Отказ – ЧП, заключающееся в нарушении работоспособности компонента системы.
Инцидент – вид отказа, связанный с неправильными действиями или повреждением человека.
Анализ опасностей делает предсказуемыми перечисленные выше ЧП и следовательно, их можно предотвратить соответствующими мерами.
Анализ опасностей – это прежде всего поиск ответов на следующие вопросы:
Какие объекты являются опасными?
Какие ЧП можно предотвратить?
Какие ЧП нельзя устранить полностью и как часто они будут иметь место?
Какие повреждения неустранимые ЧП могут нанести людям, материальным объектам, окружающей среде?
Анализ опасностей описывает опасности качественно и количественно и заканчивается планированием предупредительных мероприятий.
Существует техника вычисления вероятностей отказа, которая базируется на здании алгебры логики и событий, теории вероятностей, статистическом анализе.
ЛЕКЦИЯ 5. ТЕХНОГЕННЫЕ ОПАСНОСТИ И ЗАЩИТА ОТ НИХ
ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ САНИТАРИЯ
Производственная санитария - система организационных, гигиенических и санитарно-технических мероприятий и средств, предотвращающих воздействие на работающих вредных производственных факторов.
Воздух рабочей зоны
Под рабочей зоной производственных помещений понимается зона высотой 2 м над уровнем пола или площадки постоянного или временного пребывания работающих.
Воздух представляет собой физическую смесь различных газов, образующих атмосферу Земли. Чистый воздух – это смесь газов, содержащая 78,09 % - азота, 20,95 % - кислорода, 0,93 % - аргона, 0,03 % - диоксида углерода.
Для эффективной трудовой деятельности необходимо обеспечение требуемой чистоты воздуха и нормальных метеорологических условий (микроклимата) производственных помещений. В результате производственной деятельности в воздушную среду могут поступать различные вредные вещества .
Вредным называется вещество , которое при контакте с организмом человека в случае нарушения требований безопасности может вызвать производственные травмы, профессиональные заболевания или отклонения в состоянии здоровья, обнаруживаемые современными методами как в процессе работы, так и в последующие сроки жизни настоящего и будущего поколений .
Вредные вещества могут проникать в организм человека через органы дыхания, желудочно-кишечный тракт, кожные покровы, слизистые оболочки и вызывать отравления.
Отравления в производственных условиях могут быть острыми (возникают быстро при наличии относительно высоких концентраций вредных веществ, в основном в аварийных ситуациях) и хроническими (развиваются медленно в результате накопления в организме токсических веществ).
По степени воздействия на организм человека все вредные вещества подразделяются на четыре класса (табл. 1).
Таблица 1. Классификация вредных веществ по степени опасности
По характеру воздействия на организм человека вредные вещества подразделяются на:
- общетоксические – вступают во взаимодействие с организмом человека, вызывая различные отклонения в состоянии здоровья (ароматические углеводороды – бензол, толуол, ксилол и др.);
- раздражающие – вызывают воспалительную реакцию (кислоты, щелочи, хлор, аммиак, оксиды азота и др.);
- канцерогенные – вызывают образование злокачественных опухолей (полициклические ароматические углеводороды, входящие в состав сырой нефти и образующиеся при термической обработке горючих ископаемых – угля, древесины, нефти - и неполном их сгорании, а также пыль асбеста);
- сенсибилизирующие – после непродолжительного действия на организм вызывают повышенную чувствительность к этому веществу (соединения ртути, платина, формальдегид);
- мутагенные – воздействуют на генетический аппарат клетки (соединения свинца, ртути, органические перекиси, формальдегид и др.).
С целью устранения негативного влияния вредных веществ на организм человека установлены предельно-допустимые концентрации (ПДК) вредных веществ в воздухе рабочей зоны производственных помещений. Предельно-допустимой называется такая концентрация , которая, воздействуя на человека в течение всего рабочего стажа при ежедневной 8 -часовой работе, не вызывает заболевания или отклонения здоровья от нормального ни в данное, ни в последующее время жизни работающего и его потомства . Содержание вредных веществ в воздухе рабочей зоны производственных помещений в виде газов, паров и пыли не должны превышать ПДК, установленных ГОСТом 12.1.005–88.
В качестве примера приведем: предельно-допустимые концентрации некоторых вредных веществ в воздухе рабочей зоны.
Таблица 2. Выписка из ГОСТа 12.1.005-88
Пыли могут оказывать на человека фиброгенное (нарушают нормальной строение и функции органа), раздражающее и токсичное действия.
При одновременном присутствии в воздухе рабочей зоны нескольких вредных веществ , обладающих однонаправленным действием , сумма отношений их концентраций не должна превышать единицы
где С 1 , С 2 ,…, С n – концентрациивредных веществ в воздухе рабочей зоны;
ПДК 1 , ПДК 2 ,…, ПДК n – предельно-допустимые концентрации данных веществ в воздухе.
К вредным веществам однонаправленного действия, относятся вредные вещества, близкие по химическому строению и характеру действия на организм (спирты, щелочи, кислоты, оксид углерода и амины, оксид углерода и нитросоединения).
Первые ПДК для 40 токсичных веществ были утверждены в нашей стране еще в 1939 году. По ныне действующим нормативам их около 800.
По мере загрязнения окружающей среды и ухудшения состояния здоровья человека ПДК многих веществ со временем пересматриваются и снижаются. Например, ПДК бензола в несколько этапов была снижена с 200 до 5 мг/м 3 .
Количество поступающих в рабочую зону вредных веществ необходимо контролировать. Частота контроля зависит от класса опасности вещества и определена ГОСТом.
Защита от вредных веществ осуществляется следующими способами:
Разработкой прогрессивных технологий (надежной герметизацией, заменой токсичных веществ нетоксичными, механизацией и автоматизацией технологических процессов, дистанционным управлением и т.д.);
Вентиляцией;
Использованием индивидуальных средств защиты (когда общетехнические средства недостаточно эффективны).
При работе с вредными веществами пользуются спецодеждой : комбинезонами, халатами, фартуками и т.д., для защиты от щелочей и кислот – резиновыми обувью и перчатками. Для защиты кожи рук, лица, шеи применяют защитные пасты: антитоксичные, маслостойкие, водостойкие. Глаза от возможных ожогов и раздражений защищают очками с герметичной оправой, масками, шлемами. Органы дыхания защищают фильтрующими и изолирующими приборами. Фильтрующие приборы – это промышленные противогазы и респираторы, состоящие из полумаски и фильтров, очищающих вдыхаемый воздух от пыли или газов. Изолирующие дыхательные приборы – это шланговые или кислородные противогазы, применяющиеся в случаях высоких концентраций вредных веществ.
1.1 Вероятность безотказной работы
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P
(l
)
, которая определяется по формуле (1.1):
где
N
0 - число элементов в начале испытания;
r
(l
) - число отказов элементов к моменту наработки.
Следует отметить, что чем больше величина
N
0
, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность
P
(l).
В начале эксплуатации исправного локомотива P
(0)
= 1, так как при пробеге l
= 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение - 1. С ростом пробега l
вероятность P
(l
) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P
(l
→∞)
= 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.
Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l) в зависимости от наработки
Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P (l ), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.
1.2 Вероятность отказа
Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в предела
х заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q
(l
), которая определяется по формуле (1.2):
В начале эксплуатации исправного локомотива Q (0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение - 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q (l ) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q (l →∞ ) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.
Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки
1.3 Частота отказов
Частота отказов - это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как и определяется по формуле (1.3):
где - количество отказавших элементов за промежуток пробега .
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.
Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
1.4 Интенсивность отказов
Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов - это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как и определяется по формуле (1.4):
где 
Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.
Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.
1.5 Средняя наработка до отказа
Средняя наработка до отказа - это средний пробег безотказной работы элемента до отказа.
Средняя наработка до отказа обозначается как L
1 и определяется по формуле (1.5):
где l
i
- наработка до отказа элемента; r
i
- число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как W
ср и определяется по формуле (1.6):
1.7 Пример расчета показателей безотказности
Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0
= 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.
Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.
Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.
Таблица 1.1.
| , тыс. км | 0 - 100 | 100 - 200 | 200 - 300 | 300 - 400 | 400 - 500 | 500 - 600 |
| 2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 | |
| 2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 |
Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:
Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).
Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:
Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.
По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.
Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).
Таблица 1.2.
| , тыс.км. | 0 - 100 | 100 - 200 | 200 - 300 | 300 - 400 | 400 - 500 | 500 - 600 |
| 2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 | |
| 2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 | |
| P(l) | 0,989 | 0,922 | 0,833 | 0,778 | 0,7 | 0,667 |
| Q(l) | 0,011 | 0,078 | 0,167 | 0,222 | 0,3 | 0,333 |
| 10 -7 , 1/км | 1,111 | 6,667 | 8,889 | 5,556 | 7,778 | 3,333 |
| 10 -7 , 1/км | 1,117 | 6,977 | 10,127 | 6,897 | 10,526 | 4,878 |
Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение - 1.
Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки
Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение - 0.
Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки
Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).
Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.
Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин
Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.
Исходные данные.
В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.
Требуется.
Оценить величину интенсивности отказов, а также рассчитать вероятность безотказной работы за первые 500 ч. и вероятность отказа в промежутке времени между 800 и 900 ч. работы дизеля.
Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:
Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:
Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:
Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:
2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко
Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.
Исходные данные.
Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.
Требуется.
Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.
Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:
Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:
2.3 Закон распределения Рэлея
Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов).
Исходные данные.
Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.
Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора.
3.1 Основное соединение элементов
Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.
Исходные данные.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1
Требуется.
Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.
Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:
Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:
Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.
Таблица 3.1.
| l , час | P(l) | a(l) , час -1 |
| 0 | 1 | 0,00026 |
| 100 | 0,974355 | 0,000253 |
| 200 | 0,949329 | 0,000247 |
| 300 | 0,924964 | 0,00024 |
| 400 | 0,901225 | 0,000234 |
| 500 | 0,878095 | 0,000228 |
| 600 | 0,855559 | 0,000222 |
| 700 | 0,833601 | 0,000217 |
| 800 | 0,812207 | 0,000211 |
| 900 | 0,791362 | 0,000206 |
| 1000 | 0,771052 | 0,0002 |
Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2.
Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.
Рис. 3.2. Частота отказов системы.
3.2 Резервное соединение элементов
Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85.
Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.
Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.
Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:
Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:
Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:
Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:
Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).
Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.
Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют.
Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.
Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.
Рис. 3.6. Сблокированная схема.
Надежность системы без резервирования составит:
Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.
ОСНОВЫ РАСЧЕТА РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО НАДЕЖНОСТИ ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Целевое назначение и классификация методов расчета
Расчеты надежности - расчеты, предназначенные для определения количественных показателей надежности. Они проводятся на различных этапах разработки, создания и эксплуатации объектов.
На этапе проектирования расчет надежности производится с целью прогнозирования (предсказания) ожидаемой надежности проектируемой системы. Такое прогнозирование необходимо для обоснования предполагаемого проекта, а также для решения организационно-технических вопросов:
- выбора оптимального варианта структуры;
- способа резервирования;
- глубины и методов контроля;
- количества запасных элементов;
- периодичности профилактики.
На этапе испытаний и эксплуатации расчеты надежности проводятся для оценки количественных показателей надежности. Такие расчеты носят, как правило, характер констатации. Результаты расчетов в этом случае показывают, какой надежностью обладали объекты, прошедшие испытания или используемые в некоторых условиях эксплуатации. На основании этих расчетов разрабатываются меры по повышению надежности, определяются слабые места объекта, даются оценки его надежности и влияния на нее отдельных факторов.
Многочисленные цели расчетов привели к большому их разнообразию. На рис. 4.5.1 изображены основные виды расчетов.
Элементный расчет - определение показателей надежности объекта, обусловленных надежностью его комплектующих частей (элементов). В результате такого расчета оценивается техническое состояние объекта (вероятность того, что объект будет находиться в работоспособном состоянии, средняя наработка на отказ и т.п.).
Рис. 4.5.1. Классификация расчетов надежности
Расчет функциональной надежности - определение показателей надежности выполнения заданных функций (например, вероятность того, что система очистки газа будет работать заданное время, в заданных режимах эксплуатации с сохранением всех необходимых параметров по показателям очистки). Поскольку такие показатели зависят от ряда действующих факторов, то, как правило, расчет функциональной надежности более сложен, чем элементный расчет.
Выбирая на рис 4.5.1 варианты перемещений по пути, указанному стрелками, каждый раз получаем новый вид (случай) расчета.
Самый простой расчет - расчет, характеристики которого представлены на рис. 4.5.1 слева: элементный расчет аппаратурной надежности простых изделий, нерезервированных, без учета восстановлений работоспособности при условии, что время работы до отказа подчинено экспоненциальному распределению.
Самый сложный расчет
- расчет, характеристики которого представлены на рис. 4.5.1 справа: функциональной надежности сложных резервированных систем с учетом восстановления их работоспособности и различных законов распределения времени работы и времени восстановления.
Выбор того или иного вида расчета надежности определяется заданием на расчет надежности. На основании задания и последующего изучения работы устройства (по его техническому описанию) составляется алгоритм расчета надежности, т.е. последовательность этапов расчета и расчетные формулы.
Последовательность расчета систем
Последовательность расчета системы представлена на рис. 4.5.2. Рассмотрим основные ее этапы.
Рис. 4.5.2. Алгоритм расчета надежности
Прежде всего четко следует сформулировать задание на расчет надежности. В нем должны быть указаны: 1) назначение системы ее состав и основные сведения о функционировании; 2) показатели надежности и признаки отказов, целевое назначение расчетов; 3) условия, в которых работает (или будет работать) система; 4) требования к точности и достоверности расчетов, к полноте учета действующих факторов.
На основании изучения задания делается вывод о характере предстоящих расчетов. В случае расчета функциональной надежности осуществляется переход к этапам 4-5-7, в случае расчета элементов (аппаратурной надежности) - к этапам 3-6-7.
Под структурной схемой надежности понимается наглядное представление (графическое или в виде логических выражений) условий, при которых работает или не работает исследуемый объект (система, устройство, технический комплекс и т.д.). Типовые структурные схемы представлены на рис. 4.5.3.
Рис. 4.5.3. Типовые структуры расчета надежности
Простейшей формой структурной схемы надежности является параллельно-последовательная структура. На ней параллельно соединяются элементы, совместный отказ которых приводит к отказу
В последовательную цепочку соединяются такие элементы, отказ любого из которых приводит к отказу объекта.
На рис. 4.5.3,а представлен вариант параллельно-последовательной структуры. По этой структуре можно сделать следующее заключение. Объект состоит из пяти частей. Отказ объекта наступает тогда, когда откажет или элемент 5, или узел, состоящий из элементов 1-4. Узел может отказать тогда, когда одновременно откажет цепочка, состоящая из элементов 3,4 и узел, состоящий из элементов 1,2. Цепь 3-4 отказывает, если откажет хотя бы один из составляющих ее элементов, а узел 1,2 - если откажут оба элемента, т.е. элементы 1,2. Расчет надежности при наличии таких структур отличается наибольшей простотой и наглядностью. Однако не всегда удается условие работоспособности представить в виде простой параллельно-последовательной структуры. В таких случаях используют или логические функции, или графы и ветвящиеся структуры, по которым оставляются системы уравнений работоспособности.
На основе структурной схемы надежности составляется набор расчетных формул. Для типовых случаев расчета используются формулы, приведенные в справочниках по расчетам надежности, стандартах и методических указаниях. Прежде чем применять эти формулы, необходимо предварительно внимательно изучить их существо и области использования.
Расчет надежности, основанный на использовании параллельно-последовательных структур
Пусть некоторая техническая система D составлена из n элементов (узлов). Допустим, надежности элементов нам известны. Возникает вопрос об определении надежности системы. Она зависит от того, каким образом элементы объединены в систему, какова функция каждого из них и в какой мере исправная работа каждого элемента необходима для работы системы в целом.
Параллельно-последовательная структура надежности сложного изделия дает представление о связи между надежностью изделия и надежностью его элементов. Расчет надежности ведется последовательно - начиная от расчета элементарных узлов структуры к ее все более сложным узлам. Например, в структуре рис. 5.3,а узел, состоящий из элементов 1-2 - элементарный узел, состоящий из элементов 1-2-3-4, сложный. Эта структура может быть сведена к эквивалентной, состоящей из элементов 1-2-3-4 и элемента 5, соединенных последовательно. Расчет надежности в данном случае сводится к расчету отдельных участков схемы, состоящих из параллельно и последовательно соединенных элементов.
Система с последовательным соединением элементов
Самым простым случаем в расчетном смысле является последовательное соединение элементов системы. В такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в целом. По аналогии с цепочкой последовательно соединенных проводников, обрыв каждого из которых равносилен размыканию всей цепи, мы и называем такое соединение "последовательным" (рис. 4.5.4). Следует пояснить, что "последовательным" такое соединение элементов является только в смысле надежности, физически они могут быть соединены как угодно.
Рис. 4.5.4. Блок-схема системы с последовательным соединением элементов
С позиции надежности, такое соединение означает, что отказ устройства, состоящего из этих элементов, происходит при отказе элемента 1 или элемента 2, или элемента 3, или элемента n. Условие работоспособности можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1 и элемент 2, и элемент 3, и элемент n.
Выразим надежность данной системы через надежности ее элементов. Пусть имеется некоторый промежуток времени (0,t ), в течение которого требуется обеспечить безотказную работу системы. Тогда, если надежность системы характеризуется законом надежности Р(t), нам важно знать значение этой надежности при t=t , т.е. Р(t ). Это не функция, а определенное число; отбросим аргумент t и обозначим надежность системы просто Р. Аналогично обозначим надежности отдельных элементов P 1 , P 2 , P 3 , ..., P n .
Для
безотказной работы простой
системы в течение времени t
нужно, чтобы безотказно
работал каждый из ее
элементов. Обозначим S -
событие, состоящее в
безотказной работе системы
за время t
;
s 1 , s 2 , s 3 , ...,
s n - события, состоящие
в безотказной работе
соответствующих элементов.
Событие S есть произведение
(совмещение) событий s 1 ,
s 2 , s 3 , ..., s n:
S = s 1
×
s 2
×
s 3
×
...
×
s n .
Предположим, что
элементы s 1 , s 2 , s 3 ,
..., s n отказывают независимо
друг от друга
(или, как
говорят применительно к
надежности, "независимы
по отказам", а совсем
кратко "независимы").
Тогда по правилу умножения
вероятностей для
независимых событий Р(S)=P(s 1)×
P(s 2)×
P(s 3)×
...×
P(s n)
или в других обозначениях,
Р = Р 1
×
Р 2
×
Р 3
×
...
×
Р n .,(4.5.1)
а корочеP =
,(4.5.2)
т.е. надежность (вероятность
работоспособного
состояния) простой системы,
составленной из
независимых по отказам,
последовательно
соединенных элементов,
равна произведению
надежностей ее элементов.
В
частном случае, когда все
элементы обладают
одинаковой надежностью P 1 =P 2 =P 3 =
... =P n , выражение (4.5.2)
принимает вид
Р = P n .(4.5.3)
Пример 4.5.1. Система состоит из 10 независимых элементов, надежность каждого из которых равна Р=0,95. Определить надежность системы.
По формуле (4.5.3) Р = 0,95 10 » 0,6.
Из примера видно, как резко падает надежность системы при увеличении в ней числа элементов. Если число элементов n велико, то для обеспечения хотя бы приемлемой надежности Р системы каждый элемент должен обладать очень высокой надежностью.
Поставим вопрос: какой надежностью Р должен обладать отдельный элемент для того, чтобы система, составленная из n таких элементов, обладала заданной надежностью Р?
Из
формулы (4.5.3) получим:
Р =
.
Пример 4.5.2. Простая
система состоит из 1000
одинаково надежных,
независимых элементов.
Какой надежностью должен
обладать каждый из них для
того, чтобы надежность
системы была не меньше 0,9?
По формуле (4.5.4) Р
=
; lgР = lg0,9 1/1000 ; Р
»
0,9999.
Интенсивность отказов
системы при
экспоненциальном законе
распределения времени до
отказа легко определить из
выражения
l
с
=
l
1
+
l
2
+
l
3
+ ... +
l
n
,(4.5.4)
т.е. как сумму
интенсивностей отказов
независимых элементов. Это
и естественно, так как для
системы, в которой элементы
соединены последовательно,
отказ элемента равносилен
отказу системы, значит все
потоки отказов отдельных
элементов складываются в
один поток отказов системы
с интенсивностью, равной
сумме интенсивностей
отдельных потоков.
Формула
(4.5.4) получается из
выражения
Р = P 1 P 2 P 3 ... P n
= ехр{-(l
1
+
l
2
+
l
3
+ ... +
l
n
)}.(4.5.5)
Среднее время работы до
отказа
Т 0 = 1/
l
с
.(4.5.6)
Пример 4.5.3. Простая система S состоит из трех независимых элементов, плотности распределения времени безотказной работы которых заданы формулами:
при
0 < t < 1 (рис. 4.5.5).
Рис. 4.5.5. Плотности распределения времени безотказной работы
Найти
интенсивность отказов
системы.
Решение. Определяем
ненадежность каждого
элемента:
при
0 < t < 1.
Отсюда
надежности элементов:
при
0 < t < 1.
Интенсивности
отказов элементов (условная
плотность вероятности
отказов) - отношение f(t) к р(t):
при
0 < t < 1.
Складывая, имеем: l
с
= l
1 (t)
+ l
2 (t)
+ l
3 (t).
Пример 4.5.4. Предположим, что для работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса, причем насосы имеют постоянные интенсивности отказов, равные соответственно l 1 =0,0001ч -1 и l 2 =0,0002ч -1 . Требуется вычислить среднее время безотказной работы данной системы и вероятность ее безотказной работы в течение 100ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать в момент времени t =0.
С помощью формулы (4.5.5)
находим вероятность
безотказной работы P s
заданной системы в течение
100ч:
P s (t)=
.
P s (100)=е -(0,0001+0,0002)
×
100
=0,97045.
Используя формулу (4.5.6), получаем
ч.
На рис. 4.5.6 представлено параллельное соединение элементов 1, 2, 3. Это означает, что устройство, состоящее из этих элементов, переходит в состояние отказа после отказа всех элементов при условии, что все элементы системы находятся под нагрузкой, а отказы элементов статистически независимы.
Рис. 4. 5.6. Блок-схема системы с параллельным соединением элементов
Условие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1 или элемент 2, или элемент 3, или элементы 1 и 2, 1; и 3, 2; и 3, 1; и 2; и 3.
Вероятность
безотказного состояния
устройства, состоящего из n
параллельно соединенных
элементов определяется по
теореме сложения
вероятностей совместных
случайных событий как
Р=(р 1 +р 2 +...р n)-(р 1 р 2 +р 1 р 3 +...)-(р 1 р 2 р 3 +р 1 р 2 р n +...)-...
±
(р 1 р 2 р 3 ...р n).(4.5.7)
Для приведенной блок-схемы
(рис. 4.5.6), состоящей из трех
элементов, выражение (4.5.7)
можно записать:
Р=р 1 +р 2 +р 3 -(р 1 р 2 +р 1 р 3 +р 2 р 3)+р 1 р 2 р 3 .
Применительно к
проблемам надежности, по
правилу умножения
вероятностей независимых (в
совокупности) событий,
надежность устройства из n
элементов вычисляется по
формуле
Р = 1-
,(4.5.8)
т.е. при параллельном
соединении независимых (в
смысле надежности)
элементов их ненадежности
(1-p i =q i)
перемножаются.
В частном случае, когда
надежности всех элементов
одинаковы, формула (4.5.8)
принимает вид
Р = 1 - (1-р) n .(4.5.9)
Пример 4.5.5. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Надежность каждого из них р=0,9. Клапаны независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.
Решение. По формуле (4.5.9)Р=1-(1-0,9) 3 =0,999.
Интенсивность отказов устройства состоящего из n параллельно соединенных элементов, обладающих постоянной интенсивностью отказов l 0 , определяется как
.(4.5.10)
Из (4.5.10) видно, что интенсивность отказов устройства при n>1 зависит от t: при t=0 она равна нулю, при увеличении t, монотонно возрастает до l 0 .
Если интенсивности отказов элементов постоянны и подчинены показательному закону распределения, то выражение (4.5.8) можно записать
Р(t)
=
.(4.5.11)
Среднее время безотказной работы системы Т 0 находим, интегрируя уравнение (4.5.11) в интервале :
Т 0 =
=(1/
l
1
+1/
l
2
+…+1/
l
n
)-(1/(l
1
+
l
2
)+
1/(l
1
+
l
3
)+…)+(4.5.12)
+(1/(l
1
+
l
2
+
l
3
)+1/(l
1
+
l
2
+
l
4
)+…)+(-1) n+1
´
.
В случае, когда интенсивности отказов всех элементов одинаковы, выражение (4.5.12) принимает вид
Т 0 = .(4.5.13)
Среднее время работы до отказа также можно получить, интегрируя уравнение (4.5.7) в интервале
Пример 4.5.6. Предположим, что два одинаковых вентилятора в системе очистки отходящих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменения своих надежностных характеристик.
Требуется найти безотказность системы в течение 400ч (продолжительность выполнения задания) при условии, что интенсивности отказов двигателей вентиляторов постоянны и равны l =0,0005ч -1 , отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t=0.
Решение.
В случае идентичных
элементов формула (4.5.11)
принимает вид
Р(t) = 2еxp(-
l
t)
- еxp(-2
l
t).
Поскольку l
= 0,0005 ч -1 и t = 400 ч, то
Р (400) = 2еxp(-0,0005
´
400)
- еxp(-2
´
0,0005
´
400)=0,9671.
Среднюю наработку на
отказ находим, используя
(4.5.13):
Т 0 = 1/l
(1/1
+ 1/2) = 1/l
´
3/2
= 1,5/0,0005 = 3000 ч.
Рассмотрим самый простой пример резервированной системы - параллельное соединение резервного оборудования системы. В этой схеме все n одинаковых образцов оборудования работают одновременно, и каждый образец оборудования имеет одинаковую интенсивность отказов. Такая картина наблюдается, например, если все образцы оборудования держатся под рабочим напряжением (так называемый "горячий резерв"), а для исправной работы системы должен быть исправен хотя бы один из n образцов оборудования.
В этом варианте резервирования применимо правило определения надежности параллельно соединенных независимых элементов. В нашем случае, когда надежности всех элементов одинаковы, надежность блока определяется по формуле (4.5.9)
Р = 1 - (1-р) n .
Если система состоит из
n
образцов резервного
оборудования с различными
интенсивностями отказов,
то
P(t) = 1-(1-p 1) (1-p 2)...
(1-p n).(4.5.21)
Выражение (4.5.21)
представляется как
биноминальное
распределение. Поэтому
ясно, что когда для работы
системы требуется по
меньшей мере k
исправных из n
образцов оборудования, то
P(t) =
p i (1-p) n-i ,где
.(4.5.22)
При постоянной интенсивности отказов l элементов это выражение принимает вид
P(t)
=
,(4.5.22.1)
где р = еxp(-l t).
Включение резервного оборудования системы замещением
В данной схеме включения n одинаковых образцов оборудования только один находится все время в работе (рис. 4.5.11). Когда работающий образец выходит из строя, его непременно отключают, и в работу вступает один из (n -1) резервных (запасных) элементов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все (n -1) резервных образцов не будут исчерпаны.
Рис.
4.5.11. Блок-схема системы
включения резервного
оборудования системы
замещением
Примем для этой системы
следующие допущения:
1. Отказ системы происходит,
если откажут все n
элементов.
2. Вероятность отказа
каждого образца
оборудования не зависит от
состояния остальных (n
-1)
образцов (отказы
статистически независимы).
3. Отказывать может только
оборудование, находящееся
в работе, и условная
вероятность отказа в
интервале t, t+dt равна l
dt; запасное оборудование не
может выходить из строя до
того, как оно будет
включено в работу.
4. Переключающие устройства
считаются абсолютно
надежными.
5. Все элементы идентичны.
Резервные элементы имеют
характеристики как новые.
Система способна выполнять
требуемые от нее функции,
если исправен по крайней
мере один из n
образцов оборудования.
Таким образом, в этом
случае надежность равна
просто сумме вероятностей
состояний системы,
исключая состояние отказа,
т.е.
Р(t) = еxp(-
l
t)
.(4.5.23)
В качестве примера
рассмотрим систему,
состоящую из двух
резервных образцов
оборудования, включаемых
замещением. Для того чтобы
эта система работала, в
момент времени t, нужно,
чтобы к моменту t были
исправны либо оба образца,
либо один из двух. Поэтому
Р(t) = еxp(-
l
t)
=(exp(-
l
t))(1+
l
t).(4.5.24)
На рис. 4.5.12 показан график функции Р(t) и для сравнения приведен аналогичный график для нерезервированной системы.
Рис. 4.5. 12. Функции надежности для дублированной системы свключением резерва замещением (1) и нерезервированнойсистемы (2)
Пример 4.5.11. Система состоит из двух идентичных устройств, одно из которых функционирует, а другое находится в режиме ненагруженного резерва. Интенсивности отказов обоих устройств постоянны. Кроме того, предполагается, что в начале работы резервное устройство имеет такие же характеристики, как и новое. Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в течение 100 ч при условии, что интенсивности отказов устройств l =0,001 ч -1 .
Решение. С помощью формулы (4.5.23) получаем Р(t) = (exp(- l t))(1+ l t).
При заданных значениях t и l вероятность безотказной работы системы составляет
Р(t) = е -0,1 (1+0,1) = 0,9953.
Во
многих случаях нельзя
предполагать, что запасное
оборудование не выходит из
строя, пока его не включат в
работу. Пусть l
1 - интенсивность отказов
работающих образцов, а l
2 -
резервных или запасных (l
2 >
0).
В случае дублированной
системы функция надежности
имеет вид:
Р(t) = ехр(-(l
1
+
l
2
)t)
+
ехр(-
l
1
t)
-
ехр(-(l
1
+
l
2
)t).
Данный результат для k=2 можно распространить на случай k=n. Действительно
Р(t)
= ехр(-
l
1
(1+
a
(n-1))t)
(4.5.25)
, где a =
l
2
/
l
1
> 0.
Надежность резервированной системы в случае комбинаций отказов и внешних воздействий
В
некоторых случаях отказ
системы возникает
вследствие определенных
комбинаций отказов
образцов входящих в
систему оборудования и (или)
из-за внешних воздействий
на эту систему. Рассмотрим,
например, метеоспутник с
двумя передатчиками
информации, один из которых
является резервным или
запасным. Отказ системы (потеря
связи со спутником)
возникает при выходе из
строя двух передатчиков
или в тех случаях, когда
солнечная активность
создает непрерывные помехи
радиосвязи. Если
интенсивность отказов
работающего передатчика
равна l
,
а j
-
ожидаемая интенсивность
появления радиопомех, то
функция надежности системы
Р(t) = еxp(-(l
+
j
)t)
+
l
t еxp(-(l
+
j
)t).(4.5.26)
Данный тип модели также применим в случаях, когда резерв по схеме замещения отсутствует. Например, предположим, что нефтепровод подвергается гидравлическим ударам, причем воздействие незначительными гидроударами происходит с интенсивностью l , а значительными - с интенсивнностью j . Для разрыва сварных швов (из-за накопления повреждений) трубопроводу следует получить n малых гидроударов или один значительный.
Здесь состояние процесса разрушения представляется числом ударов (или повреждений), причем один мощный гидроудар равносилен n малых. Надежность или вероятность того, что трубопровод не будет разрушен действием микроударов к моменту времени t равна:
Р(t) = еxp(-(l + j )t) .(4.5.27)
Анализ надежности систем при множественных отказах
Рассмотрим метод анализа надежности нагруженных элементов в случае статистически независимых и зависимых (множественных) отказов. Следует заметить, что этот метод может быть применен и в случае других моделей и распределений вероятностей. При разработке этого метода предполагается, что для каждого элемента системы существует некоторая вероятность появления множественных отказов.
Как известно, множественные отказы действительно существуют, и для их учета в соответствующие формулы вводится параметр a . Этот параметр может быть определен на основе опыта эксплуатации резервированных систем или оборудования и представляет собой долю отка ов, вызываемых общей причиной . Другими словами, параметр а можно рассматривать как точечную оценку вероятности того, что отказ некоторого элемента относится к числу множественных отказов. При этом можно считать, что интенсивность отказов элемента имеет две взаимоисключающие составляющие, т. е. l = l 1 + l 2 , где l 1 - постоянная интенсивность статистически независимых отказов элемента, l 2 - интенсивность множественных отказов резервированной системы или элемента. Поскольку a = l 2 / l , то l 2 = a/ l , и следовательно, l 1 =(1- a ) l .
Приведем формулы и зависимости для вероятности безотказной работы, интенсивности отказов и средней наработки на отказ в случае систем с параллельным и последовательным соединением элементов, а также систем с k исправными элементами из п и систем, элементы которых соединены по мостиковой схеме.
Система с параллельным соединением элементов (рис. 4.5.13) - обычная параллельная схема, к которой последовательно подсоединен один элемент. Параллельная часть (I) схемы отображает независимые отказы в любой системе из n элементов, а последовательно соединенный элемент (II) - все множественные отказы системы.
Рис. 4.5.13. Модифицированная система с параллельным соединением одинаковых элементов
Гипотетический элемент, характеризуемый определенной вероятностью появления множественного отказа, последовательно соединен с элементами, которые характеризуются независимыми отказами. Отказ гипотетического последовательно соединенного элемента (т.е. множественный отказ) приводит к отказу всей системы. Предполагается, что все множественные отказы полностью взаимосвязаны. Вероятность безотказной работы такой системы определяется как R р ={1-(1-R 1) n } R 2 , где n - число одинаковых элементов; R 1 - вероятность безотказной работы элементов, обусловленная независимыми отказами; R 2 - вероятность безотказной работы системы, обусловленная множественными отказами.
l 1 и l 2 выражение для вероятности безотказной работы принимает вид
R р (t)={1-(1-e -(1-
a
)
l
t
) n }e -
al
t
,(4.5.28)
где t - время.
Влияние множественных отказов на надежность системы с параллельным соединением элементов наглядно демонстрируется с помощью рис. 4.5.14 – 4.5.16; при увеличении значения параметра a вероятность безотказной работы такой системы уменьшается.
Параметр a принимает значения от 0 до 1. При a = 0 модифицированная параллельная схема ведет себя как обычная параллельная схема, а при a =1 она действует как один элемент, т. е. все отказы системы являются множественными.
Поскольку
интенсивность отказов и
среднее время наработки на
отказ любой системы можно
определить с помощью
(4.3
.7
)
и
формул
,
,
с учетом выражения для
R
р
(t
)
получаем, что
интенсивность отказов (рис.
4.5.17) и средняя наработка на
отказ модифицированной
системы соответственно
равны
,(4.5.29)
,где
.(4.5.30)
Рис. 4.5.14. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением двух элементов от параметра a
Рис. 4.5.15. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением трех элементов от параметра a
Рис. 4.5.16. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением четырех элементов от параметра a
Рис. 4.5.17. Зависимость интенсивности отказов системы с параллельным соединением четырех элементов от параметра a
Пример 4.5.12. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, если l =0,001 ч -1 ; a =0,071; t=200 ч.
Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, для которой характерны множественные отказы, равна 0,95769. Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов и характеризуемой только независимыми отказами, равна 0,96714.
Система с k исправными элементами из п одинаковых элементов включает в себя гипотетический элемент, соответствующий множественным отказам и соединенный последовательно с обычной системой типа k из n, для которой характерны независимые отказы. Отказ, отображаемый этим гипотетическим элементом, вызывает отказ всей системы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с k исправными элементами из n можно вычислить по формуле
,(4.5.31)
где R 1 - вероятность безотказной работы элемента, для которого характерны независимые отказы; R 2 - вероятность безотказной работы системы с k исправными элементами из n , для которой характерны множественные отказы.
При постоянных интенсивностях l 1 и l 2 полученное выражение принимает вид
.(4.5.32)
Зависимость вероятности безотказной работы от параметра a для систем с двумя исправными элементами из трех и двумя и тремя исправными элементами из четырех показаны на рис. 4.5.18 - 4.5.20. При увеличении параметра a вероятность безотказной работы системы уменьшается на небольшую величину (l t).
Рис. 4.5.18. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе двух из n элементов
Рис. 4.5.19. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе двух из четырех элементов
Рис. 4.5.20. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе трех из четырех элементов
Интенсивность отказов системы с k исправными элементами из n и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:
,(4.5.33)
где h = {1-e -(1-b )l t },
q = e (r a -r- a ) l t
.(4.5.34)
Пример 4.5.13. Требуется определить вероятность безотказной работы системы с двумя исправными элементами из трех, если l =0,0005 ч - 1 ; a =0,3; t =200 ч.
С помощью выражения для R kn находим, что вероятность безотказной работы системы, в которой происходили множественные отказы, составляет 0,95772. Отметим, что для системы с независимыми отказами эта вероятность равна 0,97455.
Система с параллельно-последовательным соединением элементов соответствует системе, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и ряда ветвей, содержащих воображаемые элементы, для которых характерны множественные отказы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с параллельно-последовательным (смешанным) соединением элементов можно определить с помощью формулы R ps ={1 - (1-) n } R 2 , где m - число одинаковых элементов в ответвлении, n - число одинаковых ответвлений.
При постоянных интенсивностях отказов l 1 и l 2 это выражение принимает вид
R рs (t) = e - bl t . (4.5.39)
(здесь А=(1- a ) l ). Зависимость безотказной работы системы R b (t) для различных параметров a показана на рис. 4.5.21. При малых значениях l t вероятность безотказной работы системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, убывает с увеличением параметра a .
Рис. 4.5.21. Зависимость вероятности безотказной работы системы, элементы которой соединены по мостиковой схеме, от параметра a
Интенсивность
отказов рассматриваемой
системы и средняя
наработка на отказ могут
быть определены следующим
образом:
l
+
.(4.5.41)
Пример 4.5.14. Требуется вычислить вероятность безотказной работы в течение 200 ч для системы с одинаковыми элементами, соединенными по мостиковой схеме, если l =0,0005 ч - 1 и a =0,3.
Используя выражение для R b (t), находим, что вероятность безотказной работы системы с соединением элементов по мостиковой схеме составляет примерно 0,96; для системы с независимыми отказами (т.е. при a =0) эта вероятность равна 0,984.
Модель надежности системы с множественными отказами
Для анализа надежности системы, состоящей из двух неодинаковых элементов, для которых характерны множественные отказы, рассмотрим такую модель, при построении которой были сделаны следующие допущения и приняты следующие обозначения:
Допущения (1) множественные отказы и отказы других типов статистически независимы; (2) множественные отказы связаны с выходом из строя не менее двух элементов; (3) при отказе одного из нагруженных резервированных элементов отказавший элемент восстанавливается, при отказе обоих элементов восстанавливается вся система; (4) интенсивность множественных отказов и интенсивность восстановлений постоянны.
Обозначения
P 0 (t) -
вероятность того, что в момент времени t
оба элемента функционируют;
P 1 (t) -
вероятность того, что в момент времени t
элемент 1 вышел из строя, а
элемент 2 функционирует;
P 2 (t) -
вероятность того, что в момент времени t
эл мент 2
вышел из строя, а элемент 1
функционирует;
P 3 (t) -
вероятность того, что в момент времени t
элементы 1 и 2 вышли из строя;
P 4 (t) -
вероятность того, что в момент времени t
имеются специалисты и
запасные элементы для
восстановления обоих
элементов;
a
-
постоянный коэффициент,
характеризующий наличие
специалистов и запасных
элементов;
b
-
постоянная интенсивность
множественных отказов;
t -
время.
Рассмотрим три возможных случая восстановления элементов при их одновременном отказе:
Случай 1. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты имеются для восстановления обоих элементов, т. е. элементы могут быть восстановлены одновременно .
Случай 2. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты имеются только для восстановления одного элемента, т. е. может быть восстановлен только один элемент.
Случай 3 . Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты отсутствуют, и, кроме того, может существовать очередь на ремонтное обслуживание.
Математическая модель системы, изображенной на рис. 4.5.22, представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:
P" 0 (t)
= -
,
P" 1 (t) = -(l
2
+
m
1
)P 1 (t)+P 3 (t)
Рис. 4.5.22. Модель готовности системы в случае множественных отказов
Приравнивая в полученных уравнениях производные по времени нулю, для установившегося режима получаем
-
,
-(l
2
+
m
1
)P 1 +P 3
m
2
+P 0
l
1
= 0,
-(l
1
+
m
2
)P 2 +P 0
l
2
+P 3
m
1
= 0,
P 2 =
P 3 =
P 4 =
Стационарный
коэффициент готовности
может быть вычислен по
формуле
,
,
.
Надежность технической системы – это вероятность сохранения системой работоспособности в течение определенного времени.
Техническую систему будем представлять в виде сложной системы следующей иерархии:
Техническая система;
Устройства;
Элементы.
Техническая система –– совокупность взаимосвязанных элементов (объектов, устройств), обеспечивающих выполнение конкретных практических задач.
Устройством называется законченная конструкция, которая, являясь частью системы, имеет самостоятельное целевое назначение.
Элементы –– это части системы или устройства, которые выполняют в нем определенные функции и не могут иметь самостоятельного (вне связи с другими элементами или устройствами) применение.
Причины недостаточной надежности технических систем.
Основными причинами отказов технических систем являются внезапные (случайные) отказы, отказы вследствие ухудшения характеристик элементов (старение, износ), а также по вине скрытых производственных дефектов, характерных для начального периода эксплуатации, или нарушения условий эксплуатации .
Возрастание интенсивности отказов технических систем связано, как правило, с ужесточением условий их функционирования (эксплуатации) и с недостаточной квалификацией обслуживающего персонала.
В целом, все причины, приводящие к снижению надежности технических систем, можно разделить на следующие: конструктивные, производственные, эксплуатационные, организационные.
Конструктивные причины : низкая надежность элементной базы, неправильный выбор элементов, неудачное схемно-компоновочное решение, недостаточная унификация элементов, недостаточная отработка технологий на этапах испытаний.
Производственные причины : нарушение качества материалов, недостаточный контроль входных параметров, недостаточная отработка технологии производства и сборки устройств, общая низкая культура производства.
Эксплуатационные причины : низкая квалификация технического персонала, низкая эффективность контрольно––проверочной аппаратуры, нарушение условий эксплуатации.
Организационные причины : отсутствие требований по поддержанию заданных показателей надежности, несоответствие заводских испытаний реальным условиям эксплуатации, неритмичность эксплуатации.
1.3. Цена надежности.
Стоимость технической системы, как правило, определяется стоимостью ее создания (строительства) и стоимостью эксплуатации системы и зависит от надежности системы.
C å (Р)= C 0 (Р) + C э (Р)
где C å (Р) –– общая стоимость технической системы;
C 0 (Р) –– стоимость создания технической системы;
C э (Р) –– стоимость эксплуатации технической системы,
Р –– надежность системы.
Расходы, связанные с созданием технической системы, являются функцией требований к ее надежности. Чем выше требования к надежности системы, тем выше ее стоимость, т.е. функция C 0 (P) –– неубывающая функция надежности системы (рис. 1.2).
Стоимость эксплуатации технической системы также зависит от ее надежности, но в обратной зависимости. Чем выше надежность системы, тем ниже стоимость ее эксплуатации, чем надежнее создана система, тем меньше средств она требует на свое поддержание в исправном состоянии.
Рис. 1.2. Изменение суммарной стоимости С S системы в зависимости от ее надежности Р, затрат на эксплуатацию С Э и создание системы С 0 .
Рациональное распределение средств на повышение надежности технических систем на этапе проектирования, изготовления, испытания и эксплуатации может привести к существенной экономии суммарных расходов обеспечения функционирования системы. Зачастую распределение средств, выделенных на снижение негативных последствий аварий принимается за управление риском.
Анализ опасностей и оценки риска аварий на опасных производственных объектах (далее - анализ риска аварий) представляют собой совокупность научно-технических методов исследования опасностей возникновения, развития и последствий возможных аварий , включающую планирование работ, идентификацию опасностей аварий, оценку риска аварий, установление степени опасности возможных аварий, а также разработку и своевременную корректировку мероприятий по снижению риска аварий .
Риск аварии - мера опасности, характеризующая возможность возникновения аварии на опасном производственном объекте и соответствующую ей тяжесть последствий. В анализе риска аварий в качестве основных количественных показателей опасности (показателей риска) рекомендуется использовать:
технический риск - вероятность отказа технических устройств с последствиями определенного уровня (класса) за определенный период функционирования опасного производственного объекта;
индивидуальный риск - ожидаемая частота (частота) поражения отдельного человека в результате воздействия исследуемых поражающих факторов аварии;
потенциальный территориальный риск (или потенциальный риск)– частота реализации поражающих факторов аварии в рассматриваемой точке на площадке опасного производственного объекта и прилегающей территории;
коллективный риск (или ожидаемые людские потери) - ожидаемое
количество пораженных в результате возможных аварий за определенный период времени;
социальный риск (или риск поражения группы людей) - зависимость частоты возникновения сценариев аварий F, в которых пострадало на определенном уровне не менее N человек, от этого числа N. Характеризует социальную тяжесть последствий (катастрофичность) реализации совокупности сценариев аварии и представляется в виде соответствующей F/N-кривой;
ожидаемый ущерб - математическое ожидание величины ущерба от возможной аварии за определенный период времени;
материальный риск (или риск материальных потерь) - зависимость частоты возникновения сценариев аварий F, в которых причинен ущерб на определенном уровне потерь не менее G, от количества этих потерь G. Характеризует экономическую тяжесть последствий реализации опасностей аварий и представляется в виде соответствующей F/G-кривой.
Для некоторых ситуаций определены допустимые значения риска, например, нормативные значения пожарного риска для производственных объектов.
Величина индивидуального пожарного риска в зданиях, сооружениях, строениях и на территориях производственных объектов не должна превышать одну миллионную в год.
Риск гибели людей в результате воздействия опасных факторов пожара должен определяться с учетом функционирования систем обеспечения пожарной безопасности зданий, сооружений и строений.
Для производственных объектов, на которых обеспечение величины индивидуального пожарного риска одной миллионной в год невозможно в связи со спецификой функционирования технологических процессов, допускается увеличение индивидуального пожарного риска до одной десятитысячной в год. При этом должны быть предусмотрены меры по обучению персонала действиям при пожаре и по социальной защите работников, компенсирующие их работу в условиях повышенного риска.
Величина индивидуального пожарного риска в результате воздействия опасных факторов пожара на производственном объекте для людей, находящихся в селитебной зоне вблизи объекта, не должна превышать одну стомиллионную в год.
Величина социального пожарного риска воздействия опасных факторов пожара на производственном объекте для людей, находящихся в селитебной зоне вблизи объекта, не должна превышать одну десятимиллионную в год.
Наиболее распространенной методикой количественной оценки риска является мультипликативная форма его представления :
где: - значение риска;
– вероятность возникновения хотя бы одной аварии за рассматриваемый период работы объекта или технической системы;
Ожидаемый ущерб при возникновении аварии;
– средства, выделяемые на снижение риска;
– средства, выделяемые на снижение вероятности реализации аварии;
– средства, выделяемые на снижение ожидаемого ущерба в случае возникновения аварии.
Основной принцип управления риском состоит в приоритетном максимальном снижении вероятности возникновения аварии, и во вторую очередь – забота о сокращении ожидаемого ущерба.
Возникновение аварии очевидным образом непосредственно связано с надежностью технических систем, ее устройств или элементов.
Следует заметить, что вероятность возникновения хотя бы одной аварии имеет существенное отличие от вероятности возникновения ровно одной аварии.
2. Основные понятия теории надежности.
Теория надежности в большинстве случаев оперирует случайными величинами, поэтому большая часть понятий и определений связана с понятийным аппаратом теории вероятностей.
Отказ –– полная или частичная утрата работоспособности элементом, устройством или рассматриваемой технической системой.
Исправность –– состояние системы, при котором она в данный момент времени соответствует всем требованиям, установленным в отношении как основных параметров, так и «второстепенных».
Работоспособность –– состояние системы, при котором она в данный момент времени соответствует всем требованиям, установленным в отношении ее основных параметров.
Безотказность –– свойство системы сохранять работоспособность в течение заданного интервала времени в определенных условиях эксплуатации.
Неисправность –– состояние системы, при котором она в данный момент времени не соответствует хотя бы одному из требований, установленных в отношении как основных параметров, так и «второстепенных».
2.1. Основные количественные характеристики надежности и связь между ними.
Основной количественной характеристикой надежности является вероятность безотказной работы, определяемая как вероятность P(t) нахождения системы в исправном состоянии в течение времени T ³ t, где Т –– случайная величина продолжительности работы системы до отказа, t –– детерминированная величина текущего времени или его конкретное значение :
(2.1)
где W(T) –– вероятность реализации события, заключающегося в том, что отказ системы не произойдет ранее t.
Функция P(t) обладает следующими свойствами:
P(0) = 1, P(¥) = 0, P(t 2) £ P(t 1) при t 2 > t 1 ,
т.е. функция P(t) –– невозрастающая функция времени.
Эту функцию часто называют функцией надежности или просто надежностью технической системы.
Характеристикой, противоположной надежности, является вероятность отказа Q(t), как вероятность того, что устройство или техническая система откажет в течение времени T < t:
(2.2)
Свойства функции Q(t) : Q(0) = 0, Q(¥) = 1, Q(t 2) ³ Q(t 1) при t 2 > t 1 .
Таким образом, функция ненадежности Q(t) представляет собой функцию распределения времени исправной работы системы F(t) (П 2.20) Приложения 2.
Очевидно: Q(t) + P(t) = 1; Q(t)=1-P(t);
| t |
| Q(t) |
| P(t) |
(2.3)т.е. система может находиться либо в исправном, либо в неисправном состоянии.
Рис. 2.1. Характер изменения функций надежности и отказов во времени.
Плотность f(t) распределения времени работы системы до отказа согласно определению плотности из классической теории вероятностей имеет вид (П 2.21) приложения 2:
(2.4)
Наряду с аналитическими методами определения различных параметров надежности широко используются статистические методы, с помощью которых определяются так называемые статистические характеристики надежности систем. Эти характеристики представляют собой результаты обработки экспериментальных данных или данных прямых наблюдений.
Поскольку в эксперименте невозможно произвести наблюдения при t®¥ или на бесконечно малом временном интервале Dt®0, а также при бесконечно большом числе испытываемых систем, то статистические характеристики следует рассматривать как оценочные или приближенные к теоретическим. Статистическая плотность отказов 
в теории надежности определяют в виде отношения:
(2.5)
где Dn(t, Dt) –– число отказавших элементов на интервале Dt (от момента времени t до момента t+Dt); N 0 –– общее число элементов, выставленных на испытания; Dt ––интервал времени проведения испытаний или наблюдений.
| n(t,∆t)-n(t)=∆n |
| Вышедшие из строя |
| n(t) |
| t |
| n(t,∆t) |
| t+∆t |
| T |
Рис. 2.2. Порядок вычисления количества отказавших элементов Dn.
Статистически функция распределения времени исправной работы Q*(t) системы оценивается как отношение числа устройств n(t), вышедших из строя за время от начала испытаний до некоторого момента t, к общему числу элементов или устройств N 0 , поставленных на испытание:
(2.6)
Величину Q*(t) называют частостью
отказов, которая является оценкой функции распределения отказов или вероятности отказа.
Очевидно, что чем больше проведено число независимых испытаний, тем ближе величина частости к соответствующему значению вероятности. В теории вероятностей такой характер приближения одних величин к другим чрезвычайно употребителен и для его описания введен специальный термин –– сходимость по вероятности.
Согласно первой предельной теореме (закон больших чисел), последовательность случайных величин x n сходится по вероятности к величине J, если при сколь угодно малом e>0 вероятность неравенства
½x n - J½< e с увеличением n неограниченно приближается к единице.
Таким образом, можно утверждать, что с увеличением числа опытов частость события сходится к его вероятности по вероятности.
Одной из характеристик надежности технических систем является частота отказов, в дальнейшем обозначаемая a(t).
Частотой отказов а * (t) называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу образцов, первоначально установленных на испытание при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.
(2.7)
Выражение (2.9) является статистическим определением частоты отказов. Вместе с тем этой характеристике можно придать вероятностное определение.
Число отказавших образцов на интервале Dt может быть определено по формуле:
(2.8)
где N(t) –– число образцов, исправно работающих к моменту t; N(t+Dt) –– число образцов, исправно работающих к моменту t+Dt.
При достаточно большом числе образцов N 0 справедливы следующие соотношения:
(2.9)
где P(t)- вероятность сохранения работоспособности исследуемым элементом до момента t, т.е. надежность рассматриваемого элемента.
Подставляя (2.8) в (2.9) и учитывая (2.7), получим:
(2.10)
Устремляя к нулевому пределу интервал Dt, получим с учетом определения Dn(t, Dt), принятого в (2.5):
(2.11)
или
(2.12)
Последнее равенство подтверждает идентичность (2.7), (2.10).
Из выражения (2.12) следует утверждение, что частота отказов представляет собой плотность распределения времени работы системы до ее отказа.
Наиболее употребительной в теории надежности является такая характеристика, как интенсивность отказов :
(2.13)
т.е. l(t) является условной плотностью распределения вероятности исправной работы системы, вычисленной при условии, что к моменту t система была исправна.
Статистической интерпретацией интенсивности отказов l(t)* является отношение числа однотипных устройств Dn(Dt) , вышедших из строя в интервале времени Dt , к числу устройств N(t) из общего числа N 0 , поставленных на испытания, продолжающих к моменту времени t оставаться исправными, умноженному на длину интервала Dt, при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.
(2.14)
Разделив числитель и знаменатель (2.14) на N 0 , получим:
,
(2.15)
Таким образом, интенсивность отказов определяется как отношение частоты отказов к статистической оценке вероятности P(t) исправной работы рассматриваемого элемента или устройства
(2.16)
P(t)= 
(2.17)
Типичная кривая изменения интенсивности отказов технических систем представлена на рисунке 2.3.
| l(t) |
| t 2 |
| t |
Рис. 2.3. Типовая зависимость интенсивности отказов технических систем от времени.
Как видно из рис. 2.3 кривая l(t) имеет три характерных участка. Первый участок (от 0 до t 1) –– участок приработки, второй участок (от t 1 до t 2) –– участок нормальной эксплуатации системы, третий временной интервал (от t 2 и далее) –– участок старения системы. Здесь уместно отметить, что в период нормальной работы системы (от t 1 до t 2), как правило, интенсивность отказов не зависит от времени, l=const.
Выражение (2.16) с учетом (2.11) приобретает вид:
(2.18)
Интегрируя (2.18) при начальном условии P(0) = 1, получим:
Поскольку т.е. С=1.
Нижний предел интегрирования равен 0, т.к. отсчет времени производится от момента включения системы в работу.
Верхний предел определяется аргументом функции P(t) т.е. значением аргумента t.
Окончательно получаем:
(2.19)
Выражение (2.19) определяет вероятность безотказной работы технических систем и является одним из основных в теории надежности.
Среднее время до отказа технической системы Т С определяется как его математическое ожидание с нижним пределом интегрирования, равным нулю, поскольку время не имеет отрицательных значений:
(2.20)
Статистической интерпретацией среднего времени до первого отказа является среднее арифметическое значение времени работы устройства до ее первого отказа:
(2.21)
где R i –– называют частостью времени отказов t i ; t i –– время работы i-го элемента до первого отказа; N 0 –– число элементов, поставленных на испытание.
Выражение (2.20) можно представить в ином виде, подставив выражение плотности f(t) согласно (2.4):
(2.22)
Произведем интегрирование по частям:
(2.23)
Дисперсия D[T] случайного времени Т безотказной работы системы:
(2.24)
где Т –– случайное время безотказной работы системы; Т с –– математическое ожидание времени работы системы до отказа; f(x) –– дифференциальный закон распределения случайного времени безотказной работы системы.
Для случая распределения случайной величины по закону Пуассона при постоянном значении интенсивности отказов 
:
(2.25)
Тогда формула для вычисления дисперсии D[T] может быть выведена на основании следующих преобразований с учетом того, что время не может быть отрицательным, т.е. в (2.22) нижний предел интегрирования равен нулю:
(2.26)
Для вычисления этих интегралов вводятся обозначения:
тогда, пользуясь формулой интегрирования по частям, имеем:
Подставляя это выражение в (2.24), получим:
(2.27)
2.2. Характеристики технических систем, используемые в теории надежности.
Коэффициент стабильности надежности K ст –– отношение значений вероятностей исправной работы устройства для двух произвольных периодов времени;
K ст 
(2.28)
Если коэффициент стабильности равен единице, то надежность системы на участке t остается неизменной.
На практике часто используется показатель изменения надежности:
(2.29)
P(t) –– вероятность нахождения системы в исправном состоянии в течение времени T ³ t.
Коэффициент стоимости эксплуатации K сэ –– отношение стоимости одного года эксплуатации системы С э к стоимости изготовления системы С 0:
(2.30)
В корректной постановке С э =С э (t) и чем больше срок эксплуатации системы, тем выше износ ее элементов и тем выше значение стоимости эксплуатации. Однако зачастую в инженерной практике принимают С э =const
Особого внимания заслуживает коэффициент эффективности системы.
(2.31)
где С 0 –– стоимость разработки (создания) системы; P(t) –– надежность технической системы; Cp(x) –– мгновенное значение прибыли; m(x) –– мгновенное значение платы за аренду (за загрязнение окружающей среды); Cэ(х) –– мгновенное значение расходов на эксплуатацию (ремонт) системы.
Рассмотрим расчетный пример
Пример 2.1.
Для расчетного примера приняты следующие значения величин:
Интенсивность отказов l=0.05 (1/год); стоимость С 0 =150 (усл. ед.); польза Ср(х)=40 (усл.ед.); амортизация m(x)=3 (усл. ед.); эксплуатация 
, где С Э =1(усл. ед.), К Э =0.5 (усл. ед.), что после интегрирования приводит к выражению:
Результаты расчетов по программе в Matlab:
%Вычисление рационального срока эксплуатации системы
c0=150;L=0.05;cp=40.*t;m=3.*t;ce=t+0.25.*t.^2;
B=c0+m+(1-p).*ce;
plot(t,Kf,"k-",t,K1,"k+","LineWidth",3)
Рис. 2.4. Изменение коэффициента эффективности системы и ее надежности.
Как видно из графиков рис. 2.4 срок рентабельности технической системы находится в пределах от 6 лет до 20 лет, т.е. определяется тем временем, в пределах которого числитель (2.31) превышает знаменатель или «прибыль» системы выше расходов на ее создание и эксплуатацию.
2.3. Марковские процессы, потоки событий. Элементы теории массового обслуживания.
Говорят, что в физической системе происходит случайный процесс, если она с течением времени может под влиянием случайных факторов переходить из состояния в состояние.
Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.
Плотностью (интенсивностью) потока называется среднее число событий в единицу времени.
Большое значение имеют процессы, для которых состояние системы изменяется в случайные моменты времени. Особую роль играют такого рода процессы, для которых выполнены три условия:
стационарность,
отсутствие последействия,
ординарность.
Процессы, удовлетворяющие всем этим условиям, называются простейшими или однородными процессами Пуассона.
В перечисленные условия вкладывается следующий смысл.
Стационарность означает, что для любой группы из конечного числа непересекающихся промежутков времени вероятность наступления определенного числа событий на протяжении каждого из них зависит от этих чисел и от длительности промежутков времени, но не зависит от сдвига всех временных отрезков на одну и ту же величину. В частности, вероятность появления m событий в течение промежутка от t до t +Dt не зависит от t и является функцией только аргументов m, Dt.
Отсутствие последействия означает, что вероятность наступления m событий в течение интервала времени (t, t+Dt) не зависит от того, сколько раз и как появились события ранее. Это предположение означает, что условная вероятность появления m событий на промежутке (t, t+Dt) при любом предположении о наступлении событий до момента t совпадает с безусловной вероятностью. Отсутствие последействия означает взаимную независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся моменты времени.
Ординарность
выражает собой требование практической невозможности появления двух и более событий за малый промежуток времени Dt. Точнее, это означает следующее: обозначим через 
вероятность появления более, чем одного события за этот малый промежуток времени. Тогда условие ординарности состоит в следующем:
Если P k (t) –– вероятность появления ровно k событий за время t:
то P 0 (t) –– можно интерпретировать как вероятность того, что длительность промежутка времени между двумя последовательными появлениями событий окажется большей t.
Если события образуют пуассоновский поток, то число m событий, попадающих на любой интервал времени (t 0 , t 0 +t) распределено по закону Пуассона:
(2.32)
где a –– математическое ожидание числа событий, попадающих на этот участок:
(2.33)
l(t) –– плотность (интенсивность) потока.
Если l(t)=const , пуассоновский поток называется стационарным пуассоновским или простейшим потоком.
Расстояние (временной интервал) Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная величина, распределенная по показательному закону с плотностью:
(2.34)
Для случайной величины Т, распределенной по показательному закону, справедливы характеристики:
(2.35)
В физической системе S происходит случайный процесс, если она с течением времени может под влиянием случайных факторов изменять свое состояние.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в определенные моменты времени t 1 , t 2 ,…t n ,… Если переходы возможны в любые произвольные моменты времени, процесс называется процессом с непрерывном временем.
Случайный процесс с дискретным состоянием называется марковским , если все вероятностные характеристики в будущем зависят только от того, в каком состоянии находится этот процесс в настоящее время и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал в прошлом. Будущее зависит от прошлого только через настоящее. Если процесс марковский, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими.
При анализе случайных процессов с дискретным состоянием удобно пользоваться геометрической схемой, называемой графом состояний , который изображает возможные состояния системы и возможные переходы из состояния в состояние.
Каждое состояние системы обозначается квадратом или кружком, а возможные переходы системы из состояния в состояние –– стрелками, соединяющими квадраты или кружки. Заметим (рис. 2.5), что стрелками отмечаются только непосредственные переходы системы из состояния в состояние.
Например, если система из состояния S 0 может перейти в состояние S 3 только через состояние S 1 или S 2 , то стрелками отмечаются только переходы из S 0 в S 1 и из S 0 в S 2 , а не из состояния S 0 в S 3 .
| S 0 |
| S 2 |
| S 3 |
| S 1 |
Рис. 2.5. Граф состояний системы.
В теории надежности чаще встречаются ситуации, когда переходы системы из состояния в состояние происходят в случайные моменты времени, которые заранее предсказать невозможно. Для описания таких процессов в ряде случаев может быть применена схема марковского процесса с дискретным состоянием и непрерывным временем.
Система S называется системой с дискретным состоянием, если она имеет счетное множество возможных состояний (число состояний можно перенумеровать) S 1 , S 2 ,…,S n ,… и переход из одного состояния в другое осуществляется скачком. В дальнейшем рассматриваются только системы с дискретным состоянием.
Состояние системы называется «состоянием без выхода», если из него невозможен переход ни в какое другое состояние.
Для описания случайного процесса, протекающего в системе, зачастую пользуются вероятностями состояний:
p 1 (t), p 2 (t),…,p n (t),
где p k (t) –– вероятность того, что в момент t система находится в состоянии S к.
Вероятности p k (t) удовлетворяют условию:
Введем в рассмотрение плотность l ij вероятностей перехода системы из состояния S i в состояние S j .
| t |
| t+∆t |
| ∆t |
| T |
Рис. 2.6. Представление режима работы системы во времени.
Пусть система (рис.2.6) в момент t находится в состоянии S i . Рассмотрим элементарный участок Dt, примыкающий к моменту t.
Назовем плотностью вероятностей (или интенсивностью) перехода из состояния S i в состояние S j величину l ij как предел отношения вероятности перехода от состояния S i в состояние S j за время Dt к продолжительности этого промежутка времени Dt:
(2.36)
где P ij (Dt) –– вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии S i , за время Dt перейдет в состояние S j (справедливо только для i¹j).
При малом значении временного интервала Dt вероятность P ij (Dt) с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости равна:
(2.37)
Если все интенсивности перехода l ij не зависят от времени, марковский процесс называют однородным
, в противном случае –– процесс называется неоднородным.
Пусть нам известны все l ij для всех пар (S i , S j) . Построим граф состояний системы и против каждой стрелки поставим соответствующую плотность вероятности перехода (рис. 2.7.3). Такой граф называется размеченным графом состояний.
| S i |
| S j |
| S k |
| l ij |
| l jk |
Рис.2.7 Пример построения размеченного графа.
При наличии размеченного графа состояний системы, можно определить вероятности состояний P 0 (t), P 1 (t), P 2 (t)…как функции времени, а именно, эти вероятности удовлетворяют дифференциальным уравнениям Колмогорова.
Продемонстрируем методику вывода системы дифференциальных уравнений Колмогорова на конкретном примере (рис.2.8).
Пусть система имеет пять состояний S 0 , S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . Поставим задачу найти одну из вероятностей состояния, например, P 0 (t). Это есть вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии S 0 .
Придадим моменту t малое приращение Dt и найдем вероятность того, что в момент t+Dt система будет находиться в состоянии S 0 .
Реализация такого события возможна двумя путями:
а) система не изменит своего состояния за промежуток времени Dt;
б) система, находясь в момент t в состоянии S 3 , перейдет за Dt в состояние S 0 .
Вариант а) реализуется, если в момент t система с вероятностью P 0 (t) находилась в состоянии S 0 и не перешла из состояния S 0 в состояние S 1 . Вероятность последнего события может быть вычислена (для малых значений Dt) по формуле:
,
где P 0 (t) –– вероятность нахождения системы в момент t в состоянии S 0 , l 01 ×Dt –– вероятность перехода системы за промежуток времени Dt из состояния S 0 в состояние S 1 , (1-l 01 ×Dt) –– вероятность неперехода системы за интервал времени Dt из состояния S 0 в состояние S 1 .
| l 01 |
| S 0 |
| l 30 |
| l 42 |
| S 2 |
| S 3 |
| l 13 |
| S 4 |
| l 12 |
| l 34 |
| S 1 |
Рис. 2.8. Фрагмент размеченного графа технической системы.
Вариант б) реализуется в том случае, если система в момент t находилась с вероятностью Р 3 (t) в состоянии S 3 и за интервал времени Dt перешла в состояние S 0:
,
где l 30 ×Dt –– вероятность перехода за малый интервал времени Dt системы из состояния S 3 в состояние S 0 .
Поскольку система в момент t+Dt могла находиться в состоянии Р 0 только или первым или вторым способом, то получаем:
(2.38)
или:
(2.39)
Рассмотрим состояние S 1 и выведем уравнение для определения вероятности P 1 (t) того, что в момент t+Dt система будет находиться в состоянии S 1 .
Реализация такого состояния возможна, если:
Система находилась в момент t в состоянии S 0 и за время Dt перешла в состояние S 1 . Вероятность такого перехода определяется произведением соответствующих вероятностей:
Система в момент t находилась в состоянии S 1 и за интервал Dt своего состояния не изменила, т.е. не перешла ни в состояние S 2 , ни в состояние S 3 . Оценим вероятность осуществления этого варианта.
Вероятность того, что система, находясь в состоянии S 1 , перейдет за время Dt в состояние S 2 или S 3:
Вероятность неперехода системы из состояния S 1 ни в одно из этих состояний:
Окончательно получим:
Или, при стремлении Dt к нулю, имеем окончательно:
(2.40)
Аналогичным образом могут быть получены зависимости системы дифференциальных уравнений Колмогорова для всех остальных состояний рассматриваемой системы.
В итоге получим систему дифференциальных уравнений:
(2.41)
Интегрирование этой системы дифференциальных уравнений при начальных, условиях, например,
дает искомые функции вероятностей состояний:
Все уравнения (2.41) построены по определенному правилу, зная которое можно выписывать систему для размеченного графа почти автоматически:
· в левой части каждого уравнения стоит производная 
,
· в правой части содержится столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным k –– м состоянием,
· член правой части уравнения имеет знак плюс , если стрелка ведет в данное состояние и знак минус , если стрелка выходит из данного состояния,
· каждый член правой части уравнения равен плотности потока событий, переводящего системупо данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.
Эти правила составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова справедливы для любой непрерывной марковской цепи.
Например.
Рис. 2.9. Размеченный граф системы с дискретным состоянием
и непрерывным временем.
Система дифференциальных уравнений такой системы имеет вид:
(2.42)
Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент времени. Так, если в момент t=0 система была в состоянии S k , то полагают:
Число уравнений в системе может быть уменьшено на единицу, если учесть условие, что для любого t (для рассматриваемой системы).