Правило сравнения отрицательных чисел. Видеоурок «Сравнение чисел

§ 1 Сравнение положительных чисел

В этом уроке мы вспомним, как сравнить положительные числа и рассмотрим сравнение отрицательных чисел.

Начнем с задачи. Днем температура воздуха была +7 градусов, к вечеру понизилась до +2 градусов, ночью стала -2 градуса, а на утро еще понизилась до -7 градусов. Как изменялась температура воздуха?

В задаче речь идет о понижении, т.е. об уменьшении температуры. Значит, в каждом случае конечное значение температуры меньше начального, поэтому 2 < 7; -2 < 2; -7< -2.

Обозначим числа 7, 2, -2, -7 на координатной прямой. Вспомним, что на координатной прямой большее положительное число расположено правее.

Посмотрим на отрицательные числа, число -2 находится правее, чем -7, т.е. для отрицательных чисел на координатной прямой сохраняется тот же порядок: при движении точки вправо ее координата увеличивается, а при движении точки влево ее координата уменьшается.

Можно сделать вывод: Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа. 1 > 0; 12 > -2,5. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. -59 < 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Сравнивать рациональные числа (т.е. все и целые, и дробные числа) удобно с помощью модуля.

Положительные числа раполагаются на координатной прямой в порядке возрастания от начала координат, значит чем дальше число от начала координат, тем больше длина отрезка от нуля до числа, т.е. его модуль. Следовательно, из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше.

§ 2 Сравнение отрицательных чисел

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше. Таким образом, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Например. Сравним числа -1 и -5. Точка, соответствующая числу -1расположена ближе к началу отсчёта, чем точка, соответствующая числу -5. А значит длина отрезка от 0 до -1 или модуль числа -1 меньше, чем длина отрезка от 0 до -5 или модуль числа -5 , значит, число -1, больше, чем число -5.

Делаем выводы:

При сравнении рациональных чисел обращаем внимание на:

Знаки: отрицательное число всегда меньше положительного и нуля;

На расположение на координатной прямой: чем правее, тем больше;

На модули: у положительных чисел модуль больше и число больше, у отрицательных чисел модуль больше, а число меньше.

Список использованной литературы:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.
3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.
4. Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
5. Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru

Существуют определённые правила сравнения чисел. Рассмотрим следующий пример.

Вчера термометр показывал 15˚ C, а сегодня показывает 20˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Число 15 меньше числа 20, можем записать так: 15 < 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

А сейчас рассмотрим отрицательные температуры. Вчера на улице было -12˚ C, а сегодня -8˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Поэтому считают, что число -12 меньше числа -8. На горизонтальной координатной прямой точка со значением -12 расположена левее точки со значением -8. Можем записать так: -12 < -8.

Итак, если сравнивать числа с помощью горизонтальной координатной прямой, из двух чисел меньшим считается то, изображение которого на координатной прямой расположено левее, а большим то, изображение которого расположено правее. Например, у нас на рисунке А > B и C, но B > C.

На координатной прямой положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля, всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное меньше нуля, и поэтому всякое отрицательное число меньше всякого положительного числа.

Значит, первое на что необходимо обратить внимание при сравнении чисел, – это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.

Если же мы сравниваем два отрицательных числа, то нужно сравнить их модули: большим будет то число, модуль которого меньше, а меньшим то число, модуль которого меньше. Например, -7 и -5. Сравниваемые числа – отрицательные. Сравниваем их модули 5 и 7. 7 больше чем 5, значит -7 меньше чем -5. Если отметить на координатной прямой два отрицательных числа, то левее окажется меньшее число, а большее будет расположено правее. -7 расположено левее -5, значит -7 < -5.

Сравнение обыкновенных дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Можно сравнивать дроби только с одинаковыми знаменателями.

Алгоритм сравнения обыкновенных дробей

1) Если у дроби есть целая часть, сравнение начинаем именно с неё. Большей будет та дробь, у которой целая часть больше. Если целой части у дробей нет или они равны, переходим к следующему пункту.

2) Если дроби с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.

3) Сравниваем числители дробей. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Обратите внимание, дробь с целой частью всегда будет больше дроби без целой части.

Сравнение десятичных дробей

Десятичные дроби можно сравнивать только с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Алгоритм сравнения десятичных дробей

1) Обращаем внимание на количество знаков справа от запятой. Если количество цифр одинаковое, можем приступать к сравнению. Если – нет, дописываем нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.

2) Сравниваем десятичные дроби слева направо: целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.

3) Большей будет та дробь, в которой одна из частей окажется больше, чем в другой дроби (сравнение начинаем с целых чисел: если целая часть одной дроби больше, значит, и вся дробь больше).

Например, сравним десятичные дроби:

1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой

57,300 и 57,321

2) Сравнивать начинаем слева направо:

целые с целыми: 57 = 57;

десятые с десятыми: 3 = 3;

сотые с сотыми: 0 < 2.

Так как сотые первой десятичной дроби оказались меньше, вся дробь и будет меньше:

57,300 < 57,321

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Целые отрицательные числа

Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если температура понизится на 7°, то термометр будет показывать 0°. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если же температура понизится на 8°, то термометр покажет -1° (1° мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).

Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).

Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа - значит узнать какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:

1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

1 > 0; 15 > -16

2) Любое отрицательное число меньше нуля:

7 < 0; -357 < 0

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.

Сравнение чисел - одна из самых легких и приятных тем из курса математики. Впрочем, нужно сказать, что она не так уж и проста. Например, мало кто испытывает трудности со сравнением однозначных или двузначных положительных чисел.

Но числа с большим количеством знаков уже вызывают проблемы, часто люди теряются при сравнении отрицательных чисел и не помнят, как сравнить два числа с разными знаками. На все эти вопросы мы и постараемся ответить.

Правила относительно сравнения положительных чисел

Начнем с самого простого - с чисел, перед которыми не стоит никакого знака, то есть с положительных.

• Прежде всего, стоит запомнить, что все положительные числа по определению больше нуля, даже если речь идет о дробном числе без целого. Например, десятичная дробь 0,2 будет больше, чем нуль, поскольку на координатной прямой соответствующая ей точка все-таки отстоит от нуля на два небольших деления.
• Если речь идет о сравнении двух положительных чисел с большим количеством знаков, то нужно сравнивать каждый из разрядов. Например - 32 и 33. Разряд десятков у этих чисел одинаков, но число 33 больше, поскольку в разряде единиц «3» больше, чем «2».
• Как сравнить между собой две десятичные дроби? Здесь нужно смотреть прежде всего на целую часть - например, дробь 3,5 будет меньше, чем 4,6. А если целая часть одинакова, но различаются знаки после запятой? В этом случае действует правило для целых чисел - нужно сравнивать знаки по разрядам до тех пор, пока не обнаружатся большие и меньшие десятые, сотые, тысячные доли. Например - 4,86 больше 4,75, поскольку восемь десятых больше, чем семь.

Сравнение отрицательных чисел

Если у нас в задаче есть некие числа –а и –с, и нам нужно определить, какое из них больше, то применяется универсальное правило. Сначала выписываются модули этих чисел - |a| и |с| - и сравниваются между собой. То число, модуль которого больше, окажется меньшим в сравнении отрицательных чисел, и наоборот - большим числом будет то, модуль которого меньше.

Что делать, если сравнить нужно отрицательное и положительное число?

Здесь работает всего одно правило, и оно элементарно. Положительные числа всегда больше чисел со знаком «минус» - какими бы они ни были. Например, число «1» всегда будет больше числа «-1458» просто потому, что единица стоит справа от нуля на координатной прямой.

Также нужно помнить, что любое отрицательное число всегда меньше нуля.