Система уравнений с двумя переменными. Уравнения первой степени. Система уравнений второй степени. Способы решения

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» создан как наглядное пособие для ведения уроков алгебры по данной теме. В материале содержится объяснение на примерах, каким образом применяются различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Структурированный материал, четкое изображение, понятное объяснение голосовым сопровождением дают возможность представить данную тему в удобной форме, понятно для всех учеников. Для большей эффективности подачи материала используются анимационные эффекты, выделение цветом. Благодаря данным инструментам видеоурок может заменить объяснение учителя, освободить время учителя на уроке для улучшения качества индивидуальной работы.

В начале урока представляется его тема, а затем предлагается рассмотреть решение системы уравнений х 2 -4у 2 -х+2у=0 и х 2 -ху+у=0. Решение начинается с разложения уравнения на линейные множители. После применения формулы сокращенного умножения и вынесения общих множителей левая часть первого уравнения преобразуется в произведение (х-2у)(х+2у-1). Из него следует разбиение на два уравнения х-2у=0 и х+2у-1=0. Такое разбиение позволяет представить данную систему в виде совокупности уравнений, в которой каждое из этих уравнений составляет систему со вторым уравнением исходной системы. Очевидно, систему уравнений х-2у=0 и х 2 -ху+у=6 можно решить методом подстановки. Для этого из первого уравнения выражается х=2у, который подставляется во второе равнение. Второе уравнение преобразуется в квадратное уравнение с одной переменной. Решив квадратное уравнение, получаем результаты у 1 =-2 и у 2 =1,5. После подстановки их в выражение для вычисления х находим значения х 1 =-4 и х 2 =3. Таким же образом методом подстановки решается вторая система уравнений. После подстановки значения х из х+2у=0 во второе уравнение получаем квадратное уравнение с одной переменной. Решения данного уравнения у 1 =(2+√34)/6 и у 2 =(2-√34)/6. После подстановки значений у в выражение для вычисления х, получаем значения х 1 =(1-√34)/3 и х 2 =(1+√34)/3. Соответственно, после сделанных вычислений получаем четыре пары значений, которые являются корнями данной системы уравнений.

В решении следующей системы уравнений 3х 2 +4у=ху и х 2 -у=4ху предлагается использовать способ сложения. После сложения левых и правых частей обоих уравнений образуется суммарное уравнение 7х2=17ху. Данное уравнение после преобразования преобразуется в произведение х(7х-17у)=0, которое в свою очередь развивается на два уравнения х=0 и 7х-17у=0. Каждое из этих уравнений со вторым уравнением исходной системы образует новую систему. Решением первой системы будет пара значений х 1 =0, у 1 =0. При решении второй системы х выражается из первого уравнения через у. Выражение для х подставляется во второе уравнение. Из него определяется у, значение которого у 2 =0 и у 3 =-49/187. Соответствующие им х 2 =0 и х 3 =-119/187. Следовательно, решениями системы будут две пары значений: (0;0) и (-119/187;-49/187).

Следующей предлагается решить систему уравнений 2х 2 +3ху+у2=0 и х 2 -4ху-2у-6=0. Чтобы определить решения системы, можно разделить обе части первого уравнения на у2, учитывая, что у≠0. После деления полученное равносильное уравнение 2(х/у) 2 +3(х/у)+1=0. Очевидно, если ввести новую переменную t=х/у, то получим обычное квадратное уравнение 2t 2 +3t+1=0. Решив данное уравнение, получим корни t 1 =-1 и t 2 =-0,5. Соответственно, получаем два уравнения х/у=-1 и х/у=-0,5. Иначе данные уравнения можно представить х=-у и х=-0,5у. Вместе с уравнением х 2 -4ху-2у-6=0 каждое из этих уравнений составляет новую систему, а вместе совокупность равносильных систем. После подстановки значения х из второго уравнения в первое, а затем вычисления корней уравнения, получаем из двух систем четыре пары значений, которые являются решениями системы: (-1-√31)/5; 1+√31)/5), (-1+√31)/5; 1-√31)/5), (-1-√15)/4,5; 2+√60)/4,5), (√15-1)/4,5; 2-√60)/4,5).

Последний рассмотренный пример описывает решение симметрических систем. Предлагается решить систему уравнений х 2 +3ху+у2=9 и ху+х+у=3. Обращается внимание учеников на то, что уравнения данной системы содержат выражения х+у, ху, х 2 +у 2 . Еще одна особенность данной системы, что в ней можно произвести замену х на у и наоборот, при этом вид системы не изменится. Таким системы называются симметрическими. Данное понятие выделено на экране для запоминания. Отмечается, что такие системы лучше всего решать введением новой переменной. Для этого вводят новую переменную u= х+у и переменную v=ху. В результате такой замены получили систему уравнений u 2 -2v+3v=9 и v+u=3. После сокращения подобных слагаемых получаем первое уравнение в виде u2+v=9. Используя метод подстановки, получаем решение системы с новыми переменными: u 1 =-2, v 1 =5 и u 2 =3, v 3 =0. Используя данные пары решений, получаются две новые системы, которые необходимо решить. Первая система из уравнений х+у=-2 и ху=5, вторая система из уравнений х+у=3 и ху=0. После вычисления определяется, что решениями данных систем будут пары значений х 1 =3, у 1 =0 и х 2 =0, у 2 =3.

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» может быть полезен учителю на уроке в школе и при подаче материала в ходе дистанционного обучения. Также понятное наглядное объяснение может помочь ученику в самостоятельном изучении материала.

Специфика содержания и структура предмета требует широкого применения методов, которые способствуют активизации мышления учащихся, развитию их познавательных способностей и самостоятельности, умения применять полученные знания в различных условиях.

Актуальность работы основана на развитии и повышении интереса учащихся к изучаемому предмету, создает наиболее благоприятные условия для развития познавательных сил учащихся. На сегодняшний день, чтобы вовлечь учащихся в учебу. Необходимы все новые и новые формы урока, где за основу берется познавательный интерес учащихся, а учитель является лишь сотворцом, который приблизит этот интерес к формированию познавательной активности.

Применение компьютерных технологий позволяет значительно снизить трудоемкость обучения и сэкономить время, как учителю, так и школьникам, существенно повышается эффективность обучения и качество формирующих знаний и умений.

Такая форма проведения занятий существенно повышает мотивацию учения, эффективность и продуктивность учебной деятельности, обеспечивает работу всего класса, позволяет учащимся раскрыть свои способности, «раскрепостить» их мышление.

Использование проектора играет не главную роль, но делает урок современным, позволяет экономить время учителя и при подготовке урока и во время проведения.

Как говорят сейчас- улучшает качество жизни, а значит и качество образования.

Дети хотят быть современными и сопричастными к новейшим технологиям

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение систем уравнений второй степени»

Комарова Наталья Алексеевна, учитель математики

Тип урока: урок закрепления полученных знаний

Цели урока:

Обучающие:

1. обобщить и систематизировать способы решения систем уравнений второй степени;
2. организация поисковой деятельности учащихся при решении систем уравнений второй степени;
3. решать задачи, по данной теме, которые наиболее часто встречаются на «малом ЕГЭ»

развивающие:

1. использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
2. умение обосновывать свои рассуждения;
3. устранение пробелов в знаниях учащихся;

воспитательные:

1. выработка желания и потребности обобщать полученные факты;

воспитание настойчивости и терпения при выполнении заданий.

Оборудование и материалы : 1) презентация «Решение систем уравнений второй степени»; 2) мультимедийная доска;

3) бланки с тестами самостоятельной работой.

Ход урока

(c использованием презентации )

Слайд 1 .

1. Организационный момент.

Учитель: Тема нашего урока « Решение систем уравнений второй степени ».

Сообщить цели урока

2. Проверка знания алгоритмов.

Учитель начинает с вопросов: 1. Что называется решением системы?

2. Что значит решить систему?

Учитель прослушивает ответы и комментирует совпадающие, активизируя совпадающие на слайде2 .

3. Какие способы решения систем уравнений

Нам известны?

Опросить алгоритмы: 1. Способ подстановки Слайд №3 .

2. Способ сложения Слайд № 4.

3. Графический способ Слайд №5.

Учитель задает вопросы: Графический способ обычно

Позволяет находить решения системы

Точно или приближенно?

3. Устная работа

Учитель: Очень часто на ЕГЭ задания формулируется следующим образом:

« Используя графики уравнений укажите число решений системы уравнений».

- «А от чего будет зависеть число решений системы уравнений?»

- «А всегда ли графики пересекаются? Если нет, то что?»

Устная работа по слайдам

Перейдем к решению систем. На доске идет показ слайдов с заданиями.

Идет устная работа с классом. Для того, чтобы наш урок прошел интересно, наглядно, учащиеся класса по иллюстрациям будут объяснять материал, используя чертежи.

Задание № 1: Слайд№6.

Задание № 2: Слайд№7.

Задание № 3: Слайд№8.

4. Тест

Учитель: На партах у вас раздаточный материал (тесты с заданиями).

Детям предлагается выполнить тест по вариантам.

После чего проверяем с помощью слайда правильность выполнения теста. Слайд№9.

5. Закрепление алгоритмов при решении систем уравнений.

На доске двое учеников решают две системы. Одну способом подстановки, а другую способом сложения. №309(б)

6. Самостоятельная работа.

Детям предлагается решить систему уравнений удобным им способом

После сбора заданий проводит самопроверку.

После того как будут сданы работы, проверяем по слайдам правильность выполнения работы. Способа подстановки - Слайд№10.

Способа сложения - Слайд№11.

Графического способа сложения Слайд№12.

7. Итог урока.

Запись д.з. №303(б), 309(а), 302(б), Учитель подводит итоги урока, благодарит помощников, анализирует уровень усвоения теоретического материала.

Спросить, а какой способ больше нравится?

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Црау

Алгебра 9 класс.

Открытый урок по теме

« Подготовка к ОГЭ. Решение систем уравнений второй степени. Задание №21».

Подготовила и провела

учитель математики Царукаева Ф.Ю.

март 2017 год.

Тип урока : урок закрепления полученных знаний

Цели урока:

Тест:

Вариант 1.
Часть 1.

3. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:
а) (3;2),(2;3); б) (-2;7), (-3;8) в) (3;2)

4.Решите систему уравнений, используя метод сложения: х 2 -2у = 3,
5х 2 + у = 4.

а) (1;- 1); б) (-1; -1); в) (-1;-1);(1;-1).

Часть 2.

1.

a ) 16) 2 в) Зг) 4

2. Пусть (х 0 ;у 0 ) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения (х 0 +у 0 ) 2 .

а) 25/36; б) 25; в)13.

Тест:

Вариант 2.
Часть 1.

3. Реши систему уравнений, используя метод подстановки:
а) (2;1),(-5;8); б) (5;-2); в) (5;-2),(-2;5)

4. Реши систему уравнений, используя метод сложения: 8х+3у 2 = -21,
4х+5у 2 = 7.
а) (1; -3); б) (1;-3),(-1;-3); в) (-1;-3)

Часть 2.

1. Какую из предложенных систем уравнений можно решить с помощью данного рисунка?

2. Пусть (х 0 ;у 0 ) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения 2х 0 +у 0 .

а) 10; б) 12; в)1.

Итог урока.

Итак, наш урок подошел к концу. Мы успешно поработали, а теперь подведем итог нашему уроку. Чем мы занимались на сегодняшнем уроке?

Рассмотрели различные способы решения систем уравнений второй степени, увидели преимущество тех или иных способов в конкретных ситуациях.

А для чего нам нужно умение решать системы уравнений второй степени?

Умение решать системы уравнений второй степени используется в области атомной физики, при расчетах фундаментов строений, при составлении карт геодезических съемок.

Благодарю вас за работу и желаю успехов при выполнении домашнего задания.

Домашнее задание.

(Используя дифференцированный подход, раздаются карточки с заданиями разного уровня сложности типа К – 1, К – 2 и К – 3).

4. Задайте формулами систему уравнений второй степени, зная ее графическое решение:

7. Окончание урока:

Закончим урок притчей.

Притча – малый литературный жанр, заключающий в себе моральное поучение. Близка к басне.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?».И тот с ухмылкой ответил: «Что целый день возил проклятые камни». У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил:

«А я добросовестно выполнял своюработу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!».

Ребята! Давайте и мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

Кто работал так, как первый человек? Поднимите синие кружочки.

Кто работал добросовестно? Поднимите зеленые кружочки.

Кто принимал участие в строительстве храма? Поднимите красные кружочки.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Цели урока: закрепить умение и навыки решения систем уравнений второй степени различными способами: графическим, способом подстановки, способом сложения; развивать познавательный интерес, внимание, память, логическое мышление; воспитать чувство ответственности, самостоятельность.

Ход урока

1. Организационный момент: цели и задачи урока.

2. Повторение материала (9 мин)

1. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
2. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является графиком обратной пропорциональности?
3. Каким уравнением задается окружность?
4. Как задается квадратичная функция? Что является графиком квадратичной функции? (К каждому вопросу сразу дается правильный ответ с рисунком)
5. Решить систему уравнений графическим (слайд 4)- решение (слайд5)
6. Перед Вами графики двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение.(слайд 6)
7. Подготовка к малому ЕГЭ (слайд 7-9)

Повторим решение систем уравнений второй степени 3 способами:

А) б) в)

Вместе проверяют решение систем уравнений, решенных на доске, учащиеся должны обосновать свое решение.