Теоретические основы законов и свойств арифметических действий

Цель: проверить сформированность умений выполнять вычисления по формулам; познакомить детей с переместительным, сочетательным и распределительным законами арифметических действий.

познакомить с буквенной записью законов сложения и умножения; научить применять законы арифметических действий для упрощения вычислений и буквенных выражений;
развивать логическое мышление, навыки умственного труда, волевые привычки, математическую речь, память, внимание, интерес к математике, практичность;
воспитывать уважительное отношение друг к другу, чувство товарищества, доверие.

Тип урока: комбинированный.

проверка ранее усвоенных знаний;
подготовка учащихся к усвоению нового материала
изложение нового материала;
восприятие и осознание учащимися нового материала;
первичное закрепление изученного материала;
подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

План:

1. Организационный момент.
2. Проверка ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Первичная проверка усвоения знаний (работа с учебником).
5. Контроль и самопроверка знаний (самостоятельная работа).
6. Подведение итогов урока.
7. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: Добрый день, дети! Наш урок мы начинаем со стихотворения – напутствия. Обратите внимание на экран. (1 слайд) . Приложение 2 .

Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроках работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!

2. Повторение материала

Повторим пройденный материал. Я приглашаю к экрану ученика. Задача: соединить с помощью указки записанную формулу с её названием и ответить на вопрос, что с помощью данной формулы можно ещё найти. (2 слайд).

Откройте тетради, подпишите число, классная работа. Обратите внимание на экран. (3 слайд).

Работаем устно по следующему слайду. (5 слайд).

12 + 5 + 8 25 10 250 – 50
200 – 170 30 + 15 45: 3
15 + 30 45 – 17 28 25 4

Задание: найти значение выражений. (Один ученик работает у экрана.)

– Что интересного заметили, решая примеры? На какие примеры стоит обратить особое внимание? (Ответы детей.)

Проблемная ситуация

– Какие свойства сложения и умножения вы знаете из начальной школы? Умеете ли вы их записывать с помощью буквенных выражений? (Ответы детей).

3. Изучение нового материала

– И так, тема сегодняшнего урока “Законы арифметических действий” (6 слайд).
– Запишите в тетради тему урока.
– Что нового мы должны узнать на уроке? (Вместе с детьми формулируются цели урока).
– Смотрим на экран. (7 слайд) .

Вы видите законы сложения, записанные в буквенном виде и примеры. (Разбор примеров).

– Следующий слайд (8 слайд).

Разбираем законы умножения.

– А теперь познакомимся с очень важным распределительным законом (9 слайд).

– Подведём итог. (10 слайд).

– Для чего необходимо знать законы арифметических действий? Пригодятся ли они в дальнейшей учёбе, при изучении каких предметов? (Ответы детей.)

– Запишите законы в тетрадь.

4. Закрепление материала

– Откройте учебник и найдите № 212 (а, б, д) устно.

№ 212 (в, г, ж, з) письменно на доске и в тетрадях. (Проверка).

– Устно работаем над № 214.

– Выполняем задачу № 215. Какой закон используется при решении данного номера? (Ответы детей).

5. Самостоятельная работа

– Запишите на карточке ответ и сравните ваши результаты с соседом по парте. А теперь внимание на экран. (11 слайд). (Проверка самостоятельной работы).

6. Итог урока

– Внимание на экран. (12 слайд). Закончите предложение.

Оценки за урок.

7. Домашнее задание

§13, № 227, 229.

8. Рефлексия

Тема. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный

Тип урока. Урок первичного предъявления новых знаний.

Предметные УУД. Научиться записывать законы математических действий с помощью формул и давать словесную формулировку закона

Метапредметные УУД. Коммуникативные: развивать умение обмениваться знаниями между одноклассниками для принятия эффективных совместных решений.

Регулятивные: планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей. Познавательные: уметь выделять существенную информацию из текстов разных видов

Личностные УУД. Формирование познавательного интереса

План урока:

План:

1. Организационный момент.
2. Проверка ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Первичная проверка усвоения знаний (работа с учебником).
5. Контроль и самопроверка знаний (самостоятельная работа).
6. Домашнее задание
7. Рефлексия.

Сценарий урока

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1.Оргмомент

Здравствуйте, ребята!

Нам урок пора начать.

Пришло время вычислять.

И на трудные вопросы

Вы ответ сумейте дать!

Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроках работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!

Готовятся к уроку

Ответ: Математика

2. Проверка ранее изученного материала.

S=Vt

Периметр прямоугольника

P=2(a+b)

Площадь прямоугольника

S=ab

Пройденный путь

- Откройте тетради, подпишите число, классная работа. Обратите внимание на экран

1) a=8см

в=13см

2)V=70км/ч

t=5ч

3) a=17м

b=24м

4) S=300 км

t=6 ч

5) S=420 км

V=70км/ч

S=?

P=?

V=?

t=?

- Работаем устно по следующему слайду. (5 слайд).

12 + 5 + 8

25 10

250 – 50

200 – 170

30 + 15

45: 3

15 + 30

45 – 17

28 25 4

Задание: найти значение выражений. (Один ученик работает у экрана.)

– Что интересного заметили, решая примеры? На какие примеры стоит обратить особое внимание? (Ответы детей.)

Проблемная ситуация

Вычисляют устно

Формула – равенство, представляющее собой запись правила вычисления какой либо величины.

Запишите в тетради ответы. Теперь внимание на слайд “Проверь себя” (4 слайд).

Проверь себя

104 см 2
350 км
82 м
50 км/ч
6 ч

3.Сообщение темы и цели урока

Применение формул при решении задач

Формулы периметра и площади фигур, путь

4. Изучение нового материала.

В классе 11 д и 12м, сколько всего учеников?

Как узнать ответ? Если к д+м или к м+д результат изменится?

Какой вывод сделаем?

В вазу положили 5 груш, 7 бананов и 3 яблока. Можно узнать ск всего фруктов?

– Смотрим на экран. (7 слайд) .

Законы сложения

Равенство

Пример

Переместительный

a + b = b + a

7 + 3 = 3 + 7

Сочетательный

(a + b) + c = a + (b + c)

(48 + 3) + 12 = (48 + 12) + 3 = 63

Вы видите законы сложения, записанные в буквенном виде и примеры. (Разбор примеров).

Показываю на доске 27+148+13=188

124+371+429+346=800+470=1270

А теперь вы попробуйте

Молодцы!

Отвечают на вопросы

Да

По одному ученику с колонки

Ученик работает у доски остальные в тетрадях

83346+140458+91054 =

107888+32012+213355=

70+90+130+10=

5427+6328+10023+612=

5.Физминутка

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте - вы птица, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

Выполняют за учителем

6. Первичная проверка усвоения знаний (работа с учебником)..

№213 рассмотрим, устно 214

У доски вычислим удобным способом

5*328*12 756*25*4

50*(346*2) 8*(956*125)

7. . Контроль и самопроверка знаний (самостоятельная работа).

Вариант1.

Вариант 2.

Выполняют индивидуально и сдают на проверку, оценки на следующий урок

8.Домашнее задание

Р.т, 212, 214

9. Рефлексия

От перестановки слагаемых…

От перестановки множителей…

Чтобы умножить разность на число, нужно… Какие выводы вы сделали на уроке?

Всем спасибо за урок. До свидания

Сегодня на уроке:

А. Я узнал(а)……

В. Мне понравилось….

С. Мне не понравилось….

Д. Для меня было трудным….

Соотнеси формулы

S=Vt

Периметр прямоугольника

P=2(a+b)

Площадь прямоугольника

S=ab

Пройденный путь

2.Заполните таблицу

1) a=8 см

в =13 см

2)V=70 км / ч

t=5 ч

3) a=17 м

b=24 м

4) S=300 км

t=6 ч

5) S=420 км

V=70 км / ч

S=?

P=?

V=?

t=?

Вычислить

83346+140458+91054 =

107888+32012+213355=

7893+456342+300758126+319+434+551=

70+90+130+10=

5427+6328+10023+612=

Вычислите удобны способом

5*328*12 756*25*4

50*(346*2) 8*(956*125)

Самостоятельная работа

А) 25∙4∙86 б) 176+24+8 в) 4∙5∙333

Г) (977+23)∙49 д) (202-102)∙87

6. Продолжи предложение

От перестановки слагаемых…

Если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то…

От перестановки множителей…

Если произведение двух множителей умножить на третий множитель, то…

Чтобы умножить сумму на число, нужно…

1.Соотнеси формулы

S=Vt

Периметр прямоугольника

P=2(a+b)

Площадь прямоугольника

S=ab

Пройденный путь

2.Заполните таблицу

1) a=8 см

в =13 см

2)V=70 км / ч

t=5 ч

3) a=17 м

b=24 м

4) S=300 км

t=6 ч

5) S=420 км

V=70 км / ч

S=?

P=?

V=?

t=?

Вычислить

83346+140458+91054 =

107888+32012+213355=

7893+456342+300758126+319+434+551=

70+90+130+10=

5427+6328+10023+612=

Вычислите удобны способом

5*328*12 756*25*4

50*(346*2) 8*(956*125)

Самостоятельная работа

А) 25∙4∙86 б) 176+24+8 в) 4∙5∙333

Г) (977+23)∙49 д) (202-102)∙87

6. Продолжи предложение

От перестановки слагаемых…

Если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то…

От перестановки множителей…

Если произведение двух множителей умножить на третий множитель, то…

Чтобы умножить сумму на число, нужно…

В ходе исторического развития, конечно, долго складывали и умножали, не отдавая себе отчета в тех законах, которым подчиняются эти операции. Лишь в 20-х и 30-х годах предыдущего столетия главным образом французские и английские математики выяснили основные свойства этих операций. Кто хочет ознакомиться с историей этого вопроса подробнее, тому я могу рекомендовать здесь, как буду это делать неоднократно ниже, большую «Энциклопедию математических наук».

Возвращаясь к нашей теме, я имею в виду теперь действительно перечислить те пять основных законов, к которым приводится сложение:

1) всегда представляет собою число, иначе говоря, действие сложения всегда без всяких исключений выполнимо (в противоположность вычитанию, которое в области положительных чисел выполнимо не всегда);

2) сумма всегда определена однозначно;

3) имеет место сочетательный, или ассоциативный закон: , так что скобки можно и вовсе опустить;

4) имеет место переместительный, или коммутативный закон:

5) имеет место закон монотонности: если , то .

Эти свойства понятны без дальнейших пояснений, если мы имеем перед глазами наглядное представление о числе как о количестве. Но они должны быть выражены строго формально, чтобы на них можно было опираться при дальнейшем строго логическом развитии теории.

Что касается умножения, то здесь действует, прежде всего, пять законов, аналогичных только что перечисленным:

1) всегда есть число;

2) произведение однозначно,

3) закон сочетательности:

4) закон переместительности:

5) закон монотонности: если , то

Наконец, связь сложения с умножением устанавливается шестым законом:

6) закон распределительности, или дистрибутивности:

Легко уяснить, что все вычисления опираются исключительно на эти 11 законов. Я ограничусь простым примером, скажем, умножением числа 7 на 12;

согласно закону распределительности

В этом коротком рассуждении вы, конечно, узнаете отдельные шаги, которые мы производим при вычислениях в десятичной системе. Предоставляю вам самим разобрать примеры посложнее. Мы здесь выскажем только сводный результат: наши цифровые вычисления заключаются в повторном применении перечисленных выше одиннадцати основных положений, а также в применении заученных наизусть результатов действий над однозначными числами (таблица сложения и таблица умножения).

Однако, где же находят себе применение законы монотонности? В обыкновенных, формальных вычислениях мы на Них действительно не опираемся, но они оказываются необходимыми в задачах несколько иного рода. Напомню вам здесь о способе, который в десятичном счете называют оценкой величины произведения и частного. Это прием величайшей практической важности, который, к сожалению, в школе и среди студентов известен далеко еще не достаточно, хотя при случае о нем говорят уже во втором классе; я здесь ограничусь только примером. Допустим, нам нужно умножить 567 на 134, причем в этих числах цифры единиц установлены, - скажем, посредством физических измерений - лишь весьма неточно. В таком случае было бы совершенно бесполезно вычислять произведение с полною точностью, так как такое вычисление все равно не гарантирует нам точного значения интересующего нас числа. Но что нам действительно важно - это знать порядок величины произведения, т. е. определить, в пределах какого числа десятков или сотен число заключается. Но эту, оценку закон монотонности действительно дает вам непосредственно, ибо из него вытекает, что искомое число содержится между 560-130 и 570-140. Дальнейшее развитие этих соображений я опять-таки предоставляю вам самим.

Во всяком случае, вы видите, что при «оценочных вычислениях» приходится постоянно пользоваться законами монотонности.

Что касается действительного применения всех этих вещей в школьном преподавании, то о систематическом изложении всех этих основных законов сложения и умножения не может быть и речи. Учитель может остановиться только на законах сочетательном, переместительном и распределительном, и то только при переходе к буквенным вычислениям, эвристически выводя их из простых и ясных численных примеров.

Тема № 1.

Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений

I. Теоретический материал

Основные понятия

· Натуральные числа

· Десятичная запись числа

· Противоположные числа

· Целые числа

· Обыкновенная дробь

· Рациональные числа

· Бесконечная десятичная дробь

· Период числа, периодическая дробь

· Иррациональные числа

· Действительные числа

· Арифметические действия

· Числовое выражение

· Значение выражения

· Обращение десятичной дроби в обыкновенную

· Обращение обыкновенной дроби в десятичную

· Обращение периодической дроби в обыкновенную

· Законы арифметических действий

· Признаки делимости

Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.

Например : 24; 3711; 40125.

Множество натуральных чисел принято обозначать N .

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.

Например , числа 7 и – 7.

Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых Z .

Например : – 37; 0; 2541.

Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью . Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Например : , .

Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q .

Например : ; – 17,55; .

Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей.

Например : 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.

Например : 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R .

Например : ; 0,(23); 41,3574…

Число является иррациональным.

Для всех чисел определены действия трёх ступеней:

· действия I ступени: сложение и вычитание;

· действия II ступени: умножение и деление;

· действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.

Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.

Например : ; .

Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения .

Числовое выражение не имеет смысла , если содержит деление на нуль.

При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок.

Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.

При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную , достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.

Например : ; .

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную , надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например : ;

;

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную , надо:

1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода;

2) записать эту разность числителем;

3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде;

4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например : ; .

Законы арифметических действий над действительными числами

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:

2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:

3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:

4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:

5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:

Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.

Признаки делимости

Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости .

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.

Например : 12834; –2538; 39,42.

Признак делимости на 3 . Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например : 2742; –17940.

Признак делимости на 4 . Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Например : 15436; –372516.

Признак делимости на 5 . Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Например : 754570; –4125.

Признак делимости на 9 . Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например : 846; –76455.

Понравилась статья? Поделитесь ей

Распечатать статью